Løs 1/2-i+1-i/i(1+i)

$$\frac { 1 } { 2 - i } + \frac { 1 - i } { i ( 1 + i ) }$$

Evaluer

$$-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i=-0,6+0,2i$$

Løsningsvejledning

Multiplicer både tælleren og nævneren af \frac{1}{2-i} med nævnerens komplekse konjugation, 2+i.

$$\frac{1\left(2+i\right)}{\left(2-i\right)\left(2+i\right)}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)}$$

Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{1\left(2+i\right)}{2^{2}-i^{2}}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)}$$

i^{2} er pr. definition -1. Beregn nævneren.

$$\frac{1\left(2+i\right)}{5}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)}$$

Multiplicer 1 og 2+i for at få 2+i.

$$\frac{2+i}{5}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)}$$

Divider 2+i med 5 for at få \frac{2}{5}+\frac{1}{5}i.

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)}$$

Multiplicer i gange 1+i.

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i+i^{2}}$$

i^{2} er pr. definition -1.

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i-1}$$

Skift rækkefølge for leddene.

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{-1+i}$$

Divider 1-i med -1+i for at få -1.

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i-1$$

Subtraher 1 fra \frac{2}{5}+\frac{1}{5}i ved at subtrahere de tilsvarende reelle og imaginære dele.

$$\frac{2}{5}-1+\frac{1}{5}i$$

Subtraher 1 fra \frac{2}{5} for at få -\frac{3}{5}.

$$-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i$$

Reel del

$$-\frac{3}{5} = -0,6$$

Løsningsvejledning

Multiplicer både tælleren og nævneren af \frac{1}{2-i} med nævnerens komplekse konjugation, 2+i.

$$Re(\frac{1\left(2+i\right)}{\left(2-i\right)\left(2+i\right)}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)})$$

Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{1\left(2+i\right)}{2^{2}-i^{2}}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)})$$

i^{2} er pr. definition -1. Beregn nævneren.

$$Re(\frac{1\left(2+i\right)}{5}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)})$$

Multiplicer 1 og 2+i for at få 2+i.

$$Re(\frac{2+i}{5}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)})$$

Divider 2+i med 5 for at få \frac{2}{5}+\frac{1}{5}i.

$$Re(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)})$$

Multiplicer i gange 1+i.

$$Re(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i+i^{2}})$$

i^{2} er pr. definition -1.

$$Re(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i-1})$$

Skift rækkefølge for leddene.

$$Re(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{-1+i})$$

Divider 1-i med -1+i for at få -1.

$$Re(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i-1)$$

Subtraher 1 fra \frac{2}{5}+\frac{1}{5}i ved at subtrahere de tilsvarende reelle og imaginære dele.

$$Re(\frac{2}{5}-1+\frac{1}{5}i)$$

Subtraher 1 fra \frac{2}{5} for at få -\frac{3}{5}.

$$Re(-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i)$$

Den reelle del af -\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i er -\frac{3}{5}.

$$-\frac{3}{5}$$