Løs 1/2x^2+x-12=0

$$\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + x - 12 = 0$$

Løs for x

$$x=-6$$

$$x=4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\frac{1}{2}x^{2}+x-12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{1}{2} med a, 1 med b og -12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-12\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times \frac{1}{2}\left(-12\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-2\left(-12\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplicer -2 gange -12.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Adder 1 til 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Tag kvadratroden af 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-1±5}{1}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±5}{1} når ± er plus. Adder -1 til 5.

$$x=\frac{4}{1}$$

Divider 4 med 1.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±5}{1} når ± er minus. Subtraher 5 fra -1.

$$x=-\frac{6}{1}$$

Divider -6 med 1.

$$x=-6$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=-6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$\frac{1}{2}x^{2}+x-12=0$$

Adder 12 på begge sider af ligningen.

$$\frac{1}{2}x^{2}+x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Hvis -12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}+x=-\left(-12\right)$$

Subtraher -12 fra 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}+x=12$$

Multiplicer begge sider med 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}+x}{\frac{1}{2}}=\frac{12}{\frac{1}{2}}$$

Division med \frac{1}{2} annullerer multiplikationen med \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}x=\frac{12}{\frac{1}{2}}$$

Divider 1 med \frac{1}{2} ved at multiplicere 1 med den reciprokke værdi af \frac{1}{2}.

$$x^{2}+2x=\frac{12}{\frac{1}{2}}$$

Divider 12 med \frac{1}{2} ved at multiplicere 12 med den reciprokke værdi af \frac{1}{2}.

$$x^{2}+2x=24$$

Divider 2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 1. Adder derefter kvadratet af 1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=24+1^{2}$$

Kvadrér 1.

$$x^{2}+2x+1=24+1$$

Adder 24 til 1.

$$x^{2}+2x+1=25$$

Faktor x^{2}+2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=25$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Forenkling.

$$x+1=5 x+1=-5$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$x=4 x=-6$$