Løs 1/(x-3)=2x+1/x^2-4

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4,791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0,208712153$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Tilføj 5x på begge sider.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Tilføj 3 på begge sider.

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

Tilføj -4 og 3 for at få -1.

$$-x^{2}-1+5x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+5x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 5 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 25 til -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} når ± er plus. Adder -5 til \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

Divider -5+\sqrt{21} med -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{21} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

Divider -5-\sqrt{21} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Tilføj 5x på begge sider.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

Tilføj -3 og 4 for at få 1.

$$-x^{2}+5x=1$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Divider 5 med -1.

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

Divider 1 med -1.

$$x^{2}-5x=-1$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Adder -1 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$