Løs -f/10f+42=1/f+3

$$\frac { - f } { 10 f + 42 } = \frac { 1 } { f + 3 }$$

Løs for f

$$f=-7$$

$$f=-6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen f må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{21}{5},-3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right), det mindste fælles multiplum af 10f+42,f+3.

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere f+3 med -f.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

Subtraher 10f fra begge sider.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

Subtraher 42 fra begge sider.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f-42=0$$

Multiplicer f og f for at få f^{2}.

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f-42=0$$

Multiplicer 3 og -1 for at få -3.

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f-42=0$$

Kombiner -3f og -10f for at få -13f.

$$f^{2}\left(-1\right)-13f-42=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-f^{2}-13f-42=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -13 med b og -42 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -13.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+4\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -42.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 169 til -168.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -13 er 13.

$$f=\frac{13±1}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$f=\frac{13±1}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, f=\frac{13±1}{-2} når ± er plus. Adder 13 til 1.

$$f=\frac{14}{-2}$$

Divider 14 med -2.

$$f=-7$$

Nu skal du løse ligningen, f=\frac{13±1}{-2} når ± er minus. Subtraher 1 fra 13.

$$f=\frac{12}{-2}$$

Divider 12 med -2.

$$f=-6$$

Ligningen er nu løst.

$$f=-7 f=-6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen f må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{21}{5},-3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right), det mindste fælles multiplum af 10f+42,f+3.

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere f+3 med -f.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

Subtraher 10f fra begge sider.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

Multiplicer f og f for at få f^{2}.

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f=42$$

Multiplicer 3 og -1 for at få -3.

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f=42$$

Kombiner -3f og -10f for at få -13f.

$$f^{2}\left(-1\right)-13f=42$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-f^{2}-13f=42$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-f^{2}-13f}{-1}=\frac{42}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$f^{2}+\left(-\frac{13}{-1}\right)f=\frac{42}{-1}$$

Divider -13 med -1.

$$f^{2}+13f=\frac{42}{-1}$$

Divider 42 med -1.

$$f^{2}+13f=-42$$

Divider 13, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{13}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{13}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$f^{2}+13f+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{13}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Adder -42 til \frac{169}{4}.

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor f^{2}+13f+\frac{169}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$f+\frac{13}{2}=\frac{1}{2} f+\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Subtraher \frac{13}{2} fra begge sider af ligningen.

$$f=-6 f=-7$$