Løs (x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3,862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2,362474899$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right), det mindste fælles multiplum af 1-4x^{2},4.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -4 med x+3.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -4x-12 med 6-x, og kombiner ens led.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -1 med 2x-1.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2x+1 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Tilføj 4x^{2} på begge sider.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Kombiner 4x^{2} og 4x^{2} for at få 8x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

Subtraher 1 fra -72 for at få -73.

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}-12x-73=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, -12 med b og -73 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -32 gange -73.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

Adder 144 til 2336.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

Tag kvadratroden af 2480.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} når ± er plus. Adder 12 til 4\sqrt{155}.

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

Divider 12+4\sqrt{155} med 16.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{155} fra 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

Divider 12-4\sqrt{155} med 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right), det mindste fælles multiplum af 1-4x^{2},4.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -4 med x+3.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -4x-12 med 6-x, og kombiner ens led.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -1 med 2x-1.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2x+1 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Tilføj 4x^{2} på begge sider.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Kombiner 4x^{2} og 4x^{2} for at få 8x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Tilføj 72 på begge sider.

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

Tilføj 1 og 72 for at få 73.

$$-12x+8x^{2}=73$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}-12x=73$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

Divider -\frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

Føj \frac{73}{8} til \frac{9}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

Adder \frac{3}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$