Løs frac{sqrt{3}-3}{sqrt{3}+3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 3 } { \sqrt { 3 } + 3 }$$

Evaluer

$$\sqrt{3}-2\approx -0,267949192$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+3} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{3}-3.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}{\left(\sqrt{3}+3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}$$

Overvej \left(\sqrt{3}+3\right)\left(\sqrt{3}-3\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-3^{2}}$$

Kvadrér \sqrt{3}. Kvadrér 3.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}{3-9}$$

Subtraher 9 fra 3 for at få -6.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}{-6}$$

Multiplicer \sqrt{3}-3 og \sqrt{3}-3 for at få \left(\sqrt{3}-3\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)^{2}}{-6}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{3}-3\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-6\sqrt{3}+9}{-6}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\frac{3-6\sqrt{3}+9}{-6}$$

Tilføj 3 og 9 for at få 12.

$$\frac{12-6\sqrt{3}}{-6}$$

Divider hvert led på 12-6\sqrt{3} med -6 for at få -2+\sqrt{3}.

$$-2+\sqrt{3}$$