Løs frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}*frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}+1}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } \times \frac { \sqrt { 3 } + 1 } { \sqrt { 3 } + 1 }$$

Evaluer

$$2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Løsningsvejledning

Divider \sqrt{3}+1 med \sqrt{3}+1 for at få 1.

$$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\times 1$$

Rationaliser \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}\times 1$$

Overvej \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\times 1$$

Kvadrér \sqrt{3}. Kvadrér 1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}\times 1$$

Subtraher 1 fra 3 for at få 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\times 1$$

Multiplicer \sqrt{3}-1 og \sqrt{3}-1 for at få \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}\times 1$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}\times 1$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}\times 1$$

Tilføj 3 og 1 for at få 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}\times 1$$

Divider hvert led på 4-2\sqrt{3} med 2 for at få 2-\sqrt{3}.

$$\left(2-\sqrt{3}\right)\times 1$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2-\sqrt{3} med 1.

$$2-\sqrt{3}$$

Faktoriser

$$2-\sqrt{3}$$