Løs frac{sqrt{12}+sqrt{6}+sqrt{2}+2}{sqrt{3}+1}

$$\frac { \sqrt { 12 } + \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } + 2 } { \sqrt { 3 } + 1 }$$

Evaluer

$$\sqrt{2}+2\approx 3,414213562$$

Løsningsvejledning

Faktoriser 12=2^{2}\times 3. Omskriv kvadratroden af produktet \sqrt{2^{2}\times 3} som produktet af kvadratrødderne \sqrt{2^{2}}\sqrt{3}. Tag kvadratroden af 2^{2}.

$$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+1}$$

Rationaliser \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+1} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Overvej \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Kvadrér \sqrt{3}. Kvadrér 1.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Subtraher 1 fra 3 for at få 2.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i 2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2 med hvert led i \sqrt{3}-1.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\frac{2\times 3-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Multiplicer 2 og 3 for at få 6.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Faktoriser 6=3\times 2. Omskriv kvadratroden af produktet \sqrt{3\times 2} som produktet af kvadratrødderne \sqrt{3}\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Multiplicer \sqrt{3} og \sqrt{3} for at få 3.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Hvis du vil multiplicere \sqrt{2} og \sqrt{3}, skal du multiplicere tallene under kvadratroden.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Kombiner -\sqrt{6} og \sqrt{6} for at få 0.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Kombiner 3\sqrt{2} og -\sqrt{2} for at få 2\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Kombiner -2\sqrt{3} og 2\sqrt{3} for at få 0.

$$\frac{6+2\sqrt{2}-2}{2}$$

Subtraher 2 fra 6 for at få 4.

$$\frac{4+2\sqrt{2}}{2}$$

Divider hvert led på 4+2\sqrt{2} med 2 for at få 2+\sqrt{2}.

$$2+\sqrt{2}$$