Løs cos(θ)

$$\cos ( \theta )$$

Differentier w.r.t. θ

$$-\sin(\theta )$$

Vejledning i brug af definition af en afledning

For en funktion f\left(x\right) er afledningen lig med grænsen på \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} med h gående mod 0, hvis denne grænse findes.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\cos(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta +h)-\cos(\theta )}{h}\right)$$

Brug sumformlen for cosinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\theta )-\cos(\theta )}{h}$$

Udfaktoriser \cos(\theta ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\theta )\sin(h)}{h}$$

Omskriv grænsen.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Brug det faktum, at \theta er en konstant, når der beregnes grænser med h gående mod 0.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Grænsen \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } er 1.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )$$

Hvis du vil evaluere grænsen \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, skal du først multiplicere tælleren og nævneren med \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplicer \cos(h)+1 gange \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Brug Pythagoras-identiteten.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Omskriv grænsen.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Grænsen \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } er 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Brug det faktum, at \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} er kontinuerlig ved 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Substituer værdien 0 i udtrykket \cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta ).

$$-\sin(\theta )$$

Evaluer

$$\cos(\theta )$$