Løs +x=4/9(x^2-2x+1)

$$+ x = \frac { 4 } { 9 } ( x ^ { 2 } - 2 x + 1 )$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere \frac{4}{9} med x^{2}-2x+1.

$$x=\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{4}{9}$$

Subtraher \frac{4}{9}x^{2} fra begge sider.

$$x-\frac{4}{9}x^{2}=-\frac{8}{9}x+\frac{4}{9}$$

Tilføj \frac{8}{9}x på begge sider.

$$x-\frac{4}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x=\frac{4}{9}$$

Kombiner x og \frac{8}{9}x for at få \frac{17}{9}x.

$$\frac{17}{9}x-\frac{4}{9}x^{2}=\frac{4}{9}$$

Subtraher \frac{4}{9} fra begge sider.

$$\frac{17}{9}x-\frac{4}{9}x^{2}-\frac{4}{9}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-\frac{4}{9}x^{2}+\frac{17}{9}x-\frac{4}{9}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -\frac{4}{9} med a, \frac{17}{9} med b og -\frac{4}{9} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{17}{9}±\sqrt{\left(\frac{17}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{4}{9}\right)\left(-\frac{4}{9}\right)}}{2\left(-\frac{4}{9}\right)}$$

Du kan kvadrere \frac{17}{9} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x=\frac{-\frac{17}{9}±\sqrt{\frac{289}{81}-4\left(-\frac{4}{9}\right)\left(-\frac{4}{9}\right)}}{2\left(-\frac{4}{9}\right)}$$

Multiplicer -4 gange -\frac{4}{9}.

$$x=\frac{-\frac{17}{9}±\sqrt{\frac{289}{81}+\frac{16}{9}\left(-\frac{4}{9}\right)}}{2\left(-\frac{4}{9}\right)}$$

Multiplicer \frac{16}{9} gange -\frac{4}{9} ved at multiplicere tæller gange tæller og nævner gange nævner. Reducer derefter brøken til de laveste mulige led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-\frac{17}{9}±\sqrt{\frac{289-64}{81}}}{2\left(-\frac{4}{9}\right)}$$

Føj \frac{289}{81} til -\frac{64}{81} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-\frac{17}{9}±\sqrt{\frac{25}{9}}}{2\left(-\frac{4}{9}\right)}$$

Tag kvadratroden af \frac{25}{9}.

$$x=\frac{-\frac{17}{9}±\frac{5}{3}}{2\left(-\frac{4}{9}\right)}$$

Multiplicer 2 gange -\frac{4}{9}.

$$x=\frac{-\frac{17}{9}±\frac{5}{3}}{-\frac{8}{9}}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\frac{17}{9}±\frac{5}{3}}{-\frac{8}{9}} når ± er plus. Føj -\frac{17}{9} til \frac{5}{3} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x=-\frac{\frac{2}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Divider -\frac{2}{9} med -\frac{8}{9} ved at multiplicere -\frac{2}{9} med den reciprokke værdi af -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\frac{17}{9}±\frac{5}{3}}{-\frac{8}{9}} når ± er minus. Subtraher \frac{5}{3} fra -\frac{17}{9} ved at finde en fællesnævner og subtrahere tællerne. Reducer derefter brøken til de lavest mulige led, hvis det er muligt.

$$x=-\frac{\frac{32}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Divider -\frac{32}{9} med -\frac{8}{9} ved at multiplicere -\frac{32}{9} med den reciprokke værdi af -\frac{8}{9}.

$$x=4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{4} x=4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere \frac{4}{9} med x^{2}-2x+1.

$$x=\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{4}{9}$$

Subtraher \frac{4}{9}x^{2} fra begge sider.

$$x-\frac{4}{9}x^{2}=-\frac{8}{9}x+\frac{4}{9}$$

Tilføj \frac{8}{9}x på begge sider.

$$x-\frac{4}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x=\frac{4}{9}$$

Kombiner x og \frac{8}{9}x for at få \frac{17}{9}x.

$$\frac{17}{9}x-\frac{4}{9}x^{2}=\frac{4}{9}$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-\frac{4}{9}x^{2}+\frac{17}{9}x=\frac{4}{9}$$

Divider begge sider af ligningen med -\frac{4}{9}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$\frac{-\frac{4}{9}x^{2}+\frac{17}{9}x}{-\frac{4}{9}}=\frac{\frac{4}{9}}{-\frac{4}{9}}$$

Division med -\frac{4}{9} annullerer multiplikationen med -\frac{4}{9}.

$$x^{2}+\frac{\frac{17}{9}}{-\frac{4}{9}}x=\frac{\frac{4}{9}}{-\frac{4}{9}}$$

Divider \frac{17}{9} med -\frac{4}{9} ved at multiplicere \frac{17}{9} med den reciprokke værdi af -\frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{17}{4}x=\frac{\frac{4}{9}}{-\frac{4}{9}}$$

Divider \frac{4}{9} med -\frac{4}{9} ved at multiplicere \frac{4}{9} med den reciprokke værdi af -\frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{17}{4}x=-1$$

Divider -\frac{17}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{17}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{17}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{17}{4}x+\left(-\frac{17}{8}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{17}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{17}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{17}{4}x+\frac{289}{64}=-1+\frac{289}{64}$$

Adder -1 til \frac{289}{64}.

$$x^{2}-\frac{17}{4}x+\frac{289}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{17}{4}x+\frac{289}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{17}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{17}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{17}{8}=-\frac{15}{8}$$

Adder \frac{17}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=4 x=\frac{1}{4}$$