n^2-n-210=0-এর সমাধান করুন

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

n এর জন্য সমাধান করুন

$$n=-14$$

$$n=15$$

ফ্যাক্টরিং ব্যবহারের ধাপগুলো

সমীকরণটি সমাধান করতে, n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) সূত্র ব্যবহার করে n^{2}-n-210 গুণনীয়ক করুন। a এবং b খুঁজতে, সমাধান করতে হবে এমন একটি সিস্টেম সেট আপ করুন।

$$a+b=-1 ab=-210$$

যেহেতু ab হল ঋণাত্মক, তাই a এবং b-এর একই বিপরীত প্রতীকগুলো থাকে। যেহেতু a+b হল ঋণাত্মক, তাই ধনাত্মকটির তুলনায় ঋণাত্মক সংখ্যাটির পরম মান বৃহত্তর হয়। এই জাতীয় সমস্ত জোড়া তালিকাবদ্ধ করুন যা পণ্য -210 প্রদান করে।

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

প্রতিটি জোড়ার জন্য যোগফল গণনা করুন।

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

সমাধানটি হল সেই জোড়া যা -1 যোগফল প্রদান করে।

$$a=-15 b=14$$

প্রাপ্ত মানগুলো ব্যবহার করে গুণনীয়ক করা অভিব্যক্তি \left(n+a\right)\left(n+b\right) পুনরায় লিখুন।

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজতে, n-15=0 এবং n+14=0 সমাধান করুন।

$$n=15 n=-14$$

গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে ফ্যাক্টরিং ব্যবহারের ধাপগুলো

সমীকরণটি সমাধান করতে, গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে বাম দিকেরটি গুণনীয়ক করুন। প্রথমত, বাম দিকেরটি n^{2}+an+bn-210 হিসাবে আবার লিখতে হবে। a এবং b খুঁজতে, সমাধান করতে হবে এমন একটি সিস্টেম সেট আপ করুন।

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

যেহেতু ab হল ঋণাত্মক, তাই a এবং b-এর একই বিপরীত প্রতীকগুলো থাকে। যেহেতু a+b হল ঋণাত্মক, তাই ধনাত্মকটির তুলনায় ঋণাত্মক সংখ্যাটির পরম মান বৃহত্তর হয়। এই জাতীয় সমস্ত জোড়া তালিকাবদ্ধ করুন যা পণ্য -210 প্রদান করে।

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

প্রতিটি জোড়ার জন্য যোগফল গণনা করুন।

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

সমাধানটি হল সেই জোড়া যা -1 যোগফল প্রদান করে।

$$a=-15 b=14$$

\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right) হিসেবে n^{2}-n-210 পুনরায় লিখুন৷

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

প্রথম গোষ্ঠীতে n এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীতে 14 ফ্যাক্টর আউট।

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করে সাধারণ টার্ম n-15 ফ্যাক্টর আউট করুন।

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজতে, n-15=0 এবং n+14=0 সমাধান করুন।

$$n=15 n=-14$$

দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার ধাপগুলো

ফর্মের সমস্ত সমীকরণ ax^{2}+bx+c=0 দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}। দ্বিঘাত সূত্র দুটি সমাধান দেয়, যখন ± যোগ করা হয় এবং যখন এটি বিয়োগ করা হয়।

$$n^{2}-n-210=0$$

এই সমীকরণটি আদর্শ আকারের: ax^{2}+bx+c=0। দ্বিঘাত সূত্রে a এর জন্য 1, b এর জন্য -1 এবং c এর জন্য -210 বিকল্প নিন, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}৷

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

-4 কে -210 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

840 এ 1 যোগ করুন।

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

841 এর স্কোয়ার রুট নিন।

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1-এর বিপরীত হলো 1।

$$n=\frac{1±29}{2}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন n=\frac{1±29}{2} যখন ± হল যোগ৷ 29 এ 1 যোগ করুন।

$$n=\frac{30}{2}$$

30 কে 2 দিয়ে ভাগ করুন।

$$n=15$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন n=\frac{1±29}{2} যখন ± হল বিয়োগ৷ 1 থেকে 29 বাদ দিন।

$$n=-\frac{28}{2}$$

-28 কে 2 দিয়ে ভাগ করুন।

$$n=-14$$

সমীকরণটি এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$n=15 n=-14$$

বর্গ সম্পূর্ণ করার ধাপগুলো

দ্বিঘাত সমীকরণ যেমন এটিকে বর্গ করে সমাধান করা যেতে পারে। বর্গ সম্পূর্ণ করতে সমীকরণটিকে অবশ্যই এইরকম হতে হবে:x^{2}+bx=c।

$$n^{2}-n-210=0$$

সমীকরণের উভয় দিকে 210 যোগ করুন।

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

-210 কে তার থেকে বাদ দিলে 0 পড়ে থাকে।

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

0 থেকে -210 বাদ দিন।

$$n^{2}-n=210$$

-\frac{1}{2} পেতে x টার্মের গুণাঙ্ক -1-কে 2 দিয়ে ভাগ করুন। তারপর সমীকরণের উভয় দিকে -\frac{1}{2}-এর বর্গ যোগ করুন। এই ধাপে সমীকরণের বামদিক সম্পূর্ণ বর্গ হবে।

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ভগ্নাংশের লব ও হরের বর্গ করার মাধ্যমে -\frac{1}{2} এর বর্গ করুন।

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} এ 210 যোগ করুন।

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

n^{2}-n+\frac{1}{4} কে ভাঙুন। সাধারণভাবে, x^{2}+bx+c হল সম্পূর্ণ বর্গ, এটিকে এইভাবে গুণনীয়ক করা যায়: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}।

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

সমীকরণের উভয় দিকে স্কোয়ার রুট ব্যবহার করুন।

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

সিমপ্লিফাই।

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{1}{2} যোগ করুন।

$$n=15 n=-14$$