n^2-11n-60=0-এর সমাধান করুন

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n এর জন্য সমাধান করুন

$$n=-4$$

$$n=15$$

ফ্যাক্টরিং ব্যবহারের ধাপগুলো

সমীকরণটি সমাধান করতে, n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) সূত্র ব্যবহার করে n^{2}-11n-60 গুণনীয়ক করুন। a এবং b খুঁজতে, সমাধান করতে হবে এমন একটি সিস্টেম সেট আপ করুন।

$$a+b=-11 ab=-60$$

যেহেতু ab হল ঋণাত্মক, তাই a এবং b-এর একই বিপরীত প্রতীকগুলো থাকে। যেহেতু a+b হল ঋণাত্মক, তাই ধনাত্মকটির তুলনায় ঋণাত্মক সংখ্যাটির পরম মান বৃহত্তর হয়। এই জাতীয় সমস্ত জোড়া তালিকাবদ্ধ করুন যা পণ্য -60 প্রদান করে।

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

প্রতিটি জোড়ার জন্য যোগফল গণনা করুন।

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

সমাধানটি হল সেই জোড়া যা -11 যোগফল প্রদান করে।

$$a=-15 b=4$$

প্রাপ্ত মানগুলো ব্যবহার করে গুণনীয়ক করা অভিব্যক্তি \left(n+a\right)\left(n+b\right) পুনরায় লিখুন।

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজতে, n-15=0 এবং n+4=0 সমাধান করুন।

$$n=15 n=-4$$

গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে ফ্যাক্টরিং ব্যবহারের ধাপগুলো

সমীকরণটি সমাধান করতে, গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে বাম দিকেরটি গুণনীয়ক করুন। প্রথমত, বাম দিকেরটি n^{2}+an+bn-60 হিসাবে আবার লিখতে হবে। a এবং b খুঁজতে, সমাধান করতে হবে এমন একটি সিস্টেম সেট আপ করুন।

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

যেহেতু ab হল ঋণাত্মক, তাই a এবং b-এর একই বিপরীত প্রতীকগুলো থাকে। যেহেতু a+b হল ঋণাত্মক, তাই ধনাত্মকটির তুলনায় ঋণাত্মক সংখ্যাটির পরম মান বৃহত্তর হয়। এই জাতীয় সমস্ত জোড়া তালিকাবদ্ধ করুন যা পণ্য -60 প্রদান করে।

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

প্রতিটি জোড়ার জন্য যোগফল গণনা করুন।

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

সমাধানটি হল সেই জোড়া যা -11 যোগফল প্রদান করে।

$$a=-15 b=4$$

\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) হিসেবে n^{2}-11n-60 পুনরায় লিখুন৷

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

প্রথম গোষ্ঠীতে n এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীতে 4 ফ্যাক্টর আউট।

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করে সাধারণ টার্ম n-15 ফ্যাক্টর আউট করুন।

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজতে, n-15=0 এবং n+4=0 সমাধান করুন।

$$n=15 n=-4$$

দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার ধাপগুলো

ফর্মের সমস্ত সমীকরণ ax^{2}+bx+c=0 দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}। দ্বিঘাত সূত্র দুটি সমাধান দেয়, যখন ± যোগ করা হয় এবং যখন এটি বিয়োগ করা হয়।

$$n^{2}-11n-60=0$$

এই সমীকরণটি আদর্শ আকারের: ax^{2}+bx+c=0। দ্বিঘাত সূত্রে a এর জন্য 1, b এর জন্য -11 এবং c এর জন্য -60 বিকল্প নিন, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}৷

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11 এর বর্গ

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 কে -60 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

240 এ 121 যোগ করুন।

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 এর স্কোয়ার রুট নিন।

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11-এর বিপরীত হলো 11।

$$n=\frac{11±19}{2}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন n=\frac{11±19}{2} যখন ± হল যোগ৷ 19 এ 11 যোগ করুন।

$$n=\frac{30}{2}$$

30 কে 2 দিয়ে ভাগ করুন।

$$n=15$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন n=\frac{11±19}{2} যখন ± হল বিয়োগ৷ 11 থেকে 19 বাদ দিন।

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 কে 2 দিয়ে ভাগ করুন।

$$n=-4$$

সমীকরণটি এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$n=15 n=-4$$

বর্গ সম্পূর্ণ করার ধাপগুলো

দ্বিঘাত সমীকরণ যেমন এটিকে বর্গ করে সমাধান করা যেতে পারে। বর্গ সম্পূর্ণ করতে সমীকরণটিকে অবশ্যই এইরকম হতে হবে:x^{2}+bx=c।

$$n^{2}-11n-60=0$$

সমীকরণের উভয় দিকে 60 যোগ করুন।

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 কে তার থেকে বাদ দিলে 0 পড়ে থাকে।

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

0 থেকে -60 বাদ দিন।

$$n^{2}-11n=60$$

-\frac{11}{2} পেতে x টার্মের গুণাঙ্ক -11-কে 2 দিয়ে ভাগ করুন। তারপর সমীকরণের উভয় দিকে -\frac{11}{2}-এর বর্গ যোগ করুন। এই ধাপে সমীকরণের বামদিক সম্পূর্ণ বর্গ হবে।

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

ভগ্নাংশের লব ও হরের বর্গ করার মাধ্যমে -\frac{11}{2} এর বর্গ করুন।

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4} এ 60 যোগ করুন।

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

n^{2}-11n+\frac{121}{4} কে ভাঙুন। সাধারণভাবে, x^{2}+bx+c হল সম্পূর্ণ বর্গ, এটিকে এইভাবে গুণনীয়ক করা যায়: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}।

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

সমীকরণের উভয় দিকে স্কোয়ার রুট ব্যবহার করুন।

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

সিমপ্লিফাই।

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{11}{2} যোগ করুন।

$$n=15 n=-4$$