bx+cy=a+b,ax[1/a-b-1/a+b]+cy[1/b-a-1/b+a]=frac{2a}{a+b}-এর সমাধান করুন

$$b x + c y = a + b , a x [ \frac { 1 } { a - b } - \frac { 1 } { a + b } ] + c y [ \frac { 1 } { b - a } - \frac { 1 } { b + a } ] = \frac { 2 a } { a + b }$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{a}{b}\text{, }y=\frac{b}{c}\text{, }&c\neq 0\text{ and }b\neq 0\text{ and }|b|\neq |a|\\x=\frac{b-cy}{b}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$bx+cy=a+b$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে cy বাদ দিন।

$$bx=\left(-c\right)y+a+b$$

b দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{b}\left(\left(-c\right)y+a+b\right)$$

\frac{1}{b} কে -cy+a+b বার গুণ করুন।

$$x=\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}$$

অন্য সমীকরণ \left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b} এ x এর জন্য \frac{-cy+a+b}{b} বিপরীত করু ন।

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)a\left(\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}\right)+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right) কে \frac{-cy+a+b}{b} বার গুণ করুন।

$$\left(-\frac{2ac}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)y+\frac{2a}{a-b}+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

\frac{2cay}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)} এ -\frac{2acy}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} যোগ করুন।

$$\frac{4ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y+\frac{2a}{a-b}=\frac{2a}{a+b}$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{2a}{a-b} বাদ দিন।

$$\frac{4ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=-\frac{4ab}{a^{2}-b^{2}}$$

\frac{4ca}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{b}{c}$$

x=\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{b}{c} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\left(-\frac{c}{b}\right)\times \frac{b}{c}+\frac{a+b}{b}$$

-\frac{c}{b} কে \frac{b}{c} বার গুণ করুন।

$$x=-1+\frac{a+b}{b}$$

-1\text{, }|b|\neq |a| এ \frac{a+b}{b} যোগ করুন।

$$x=\frac{a}{b}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}b&c\\-\frac{2ab}{\left(-a+b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ca}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)\left(b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)}&-\frac{c}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}\\-\frac{\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}&\frac{b}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2b}&\frac{a}{4b}-\frac{b}{4a}\\\frac{1}{2c}&\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{4ac}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2b}\left(a+b\right)+\left(\frac{a}{4b}-\frac{b}{4a}\right)\times \frac{2a}{a+b}\\\frac{1}{2c}\left(a+b\right)+\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{4ac}\times \frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{b}\\\frac{b}{c}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

bx এবং \frac{2abx}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right) দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে b দিয়ে গুণ করুন।

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)abx+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)acy=\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)a\left(a+b\right),b\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+b\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=b\times \frac{2a}{a+b}$$

সিমপ্লিফাই।

$$\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b},\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a+b}$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে \frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b} থেকে \frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a+b} বাদ দিন।

$$\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\left(-\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y+\left(-\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\right)y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

-\frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} এ \frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} যোগ করুন। টার্ম \frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} এবং -\frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y+\left(-\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\right)y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

-\frac{2bcay}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)} এ \frac{2abcy}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} যোগ করুন।

$$\frac{4abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

-\frac{2ba}{a+b} এ \frac{2ab}{a-b} যোগ করুন।

$$\frac{4abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{4ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$$

\frac{4bca}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{b}{c}$$

\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{b}{c} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)c\times \frac{b}{c}=\frac{2a}{a+b}$$

c\left(\left(b-a\right)^{-1}-\left(b+a\right)^{-1}\right) কে \frac{b}{c} বার গুণ করুন।

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\frac{2ab}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}=\frac{2a}{a+b}$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{2ab}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)} বাদ দিন।

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax=-\frac{2a^{2}}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}$$

a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right) দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{a}{b}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$