9n^2-23n+20=3n^2-এর সমাধান করুন

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

n এর জন্য সমাধান করুন

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে ফ্যাক্টরিং ব্যবহারের ধাপগুলো

উভয় দিক থেকে 3n^{2} বিয়োগ করুন।

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} পেতে 9n^{2} এবং -3n^{2} একত্রিত করুন।

$$6n^{2}-23n+20=0$$

সমীকরণটি সমাধান করতে, গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে বাম দিকেরটি গুণনীয়ক করুন। প্রথমত, বাম দিকেরটি 6n^{2}+an+bn+20 হিসাবে আবার লিখতে হবে। a এবং b খুঁজতে, সমাধান করতে হবে এমন একটি সিস্টেম সেট আপ করুন।

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

যেহেতু ab হল ধনাত্মক, তাই a এবং b-এর একই প্রতীক রয়েছে। যেহেতু a+b হল ঋণাত্মক, তাই a এবং b উভয়ই ঋণাত্মক হয়। এই জাতীয় সমস্ত জোড়া তালিকাবদ্ধ করুন যা পণ্য 120 প্রদান করে।

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

প্রতিটি জোড়ার জন্য যোগফল গণনা করুন।

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

সমাধানটি হল সেই জোড়া যা -23 যোগফল প্রদান করে।

$$a=-15 b=-8$$

\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) হিসেবে 6n^{2}-23n+20 পুনরায় লিখুন৷

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

প্রথম গোষ্ঠীতে 3n এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীতে -4 ফ্যাক্টর আউট।

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করে সাধারণ টার্ম 2n-5 ফ্যাক্টর আউট করুন।

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজতে, 2n-5=0 এবং 3n-4=0 সমাধান করুন।

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার ধাপগুলো

উভয় দিক থেকে 3n^{2} বিয়োগ করুন।

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} পেতে 9n^{2} এবং -3n^{2} একত্রিত করুন।

$$6n^{2}-23n+20=0$$

এই সমীকরণটি আদর্শ আকারের: ax^{2}+bx+c=0। দ্বিঘাত সূত্রে a এর জন্য 6, b এর জন্য -23 এবং c এর জন্য 20 বিকল্প নিন, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}৷

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-23 এর বর্গ

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4 কে 6 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24 কে 20 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

-480 এ 529 যোগ করুন।

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 এর স্কোয়ার রুট নিন।

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23-এর বিপরীত হলো 23।

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2 কে 6 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{23±7}{12}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন n=\frac{23±7}{12} যখন ± হল যোগ৷ 7 এ 23 যোগ করুন।

$$n=\frac{30}{12}$$

6 -কে নির্গমন ও বাতিল করার মাধ্যমে \frac{30}{12} ভগ্নাংশটি সর্বনিম্ন টার্মে কমিয়ে আনুন।

$$n=\frac{5}{2}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন n=\frac{23±7}{12} যখন ± হল বিয়োগ৷ 23 থেকে 7 বাদ দিন।

$$n=\frac{16}{12}$$

4 -কে নির্গমন ও বাতিল করার মাধ্যমে \frac{16}{12} ভগ্নাংশটি সর্বনিম্ন টার্মে কমিয়ে আনুন।

$$n=\frac{4}{3}$$

সমীকরণটি এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

বর্গ সম্পূর্ণ করার ধাপগুলো

উভয় দিক থেকে 3n^{2} বিয়োগ করুন।

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} পেতে 9n^{2} এবং -3n^{2} একত্রিত করুন।

$$6n^{2}-23n+20=0$$

উভয় দিক থেকে 20 বিয়োগ করুন। শূন্য থেকে কোনও সংখ্যাকে বিয়োগ করা যায় না৷

$$6n^{2}-23n=-20$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6 দিয়ে ভাগ করে 6 দিয়ে গুণ করে আগের অবস্থায় আনুন।

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2 -কে নির্গমন ও বাতিল করার মাধ্যমে \frac{-20}{6} ভগ্নাংশটি সর্বনিম্ন টার্মে কমিয়ে আনুন।

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

-\frac{23}{12} পেতে x টার্মের গুণাঙ্ক -\frac{23}{6}-কে 2 দিয়ে ভাগ করুন। তারপর সমীকরণের উভয় দিকে -\frac{23}{12}-এর বর্গ যোগ করুন। এই ধাপে সমীকরণের বামদিক সম্পূর্ণ বর্গ হবে।

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

ভগ্নাংশের লব ও হরের বর্গ করার মাধ্যমে -\frac{23}{12} এর বর্গ করুন।

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{529}{144} এ -\frac{10}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} কে ভাঙুন। সাধারণভাবে, x^{2}+bx+c হল সম্পূর্ণ বর্গ, এটিকে এইভাবে গুণনীয়ক করা যায়: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}।

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

সমীকরণের উভয় দিকে স্কোয়ার রুট ব্যবহার করুন।

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

সিমপ্লিফাই।

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{23}{12} যোগ করুন।

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$