3n^2-4n-15=0-এর সমাধান করুন

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

n এর জন্য সমাধান করুন

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে ফ্যাক্টরিং ব্যবহারের ধাপগুলো

সমীকরণটি সমাধান করতে, গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে বাম দিকেরটি গুণনীয়ক করুন। প্রথমত, বাম দিকেরটি 3n^{2}+an+bn-15 হিসাবে আবার লিখতে হবে। a এবং b খুঁজতে, সমাধান করতে হবে এমন একটি সিস্টেম সেট আপ করুন।

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

যেহেতু ab হল ঋণাত্মক, তাই a এবং b-এর একই বিপরীত প্রতীকগুলো থাকে। যেহেতু a+b হল ঋণাত্মক, তাই ধনাত্মকটির তুলনায় ঋণাত্মক সংখ্যাটির পরম মান বৃহত্তর হয়। এই জাতীয় সমস্ত জোড়া তালিকাবদ্ধ করুন যা পণ্য -45 প্রদান করে।

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

প্রতিটি জোড়ার জন্য যোগফল গণনা করুন।

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

সমাধানটি হল সেই জোড়া যা -4 যোগফল প্রদান করে।

$$a=-9 b=5$$

\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) হিসেবে 3n^{2}-4n-15 পুনরায় লিখুন৷

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

প্রথম গোষ্ঠীতে 3n এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীতে 5 ফ্যাক্টর আউট।

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করে সাধারণ টার্ম n-3 ফ্যাক্টর আউট করুন।

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজতে, n-3=0 এবং 3n+5=0 সমাধান করুন।

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার ধাপগুলো

ফর্মের সমস্ত সমীকরণ ax^{2}+bx+c=0 দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}। দ্বিঘাত সূত্র দুটি সমাধান দেয়, যখন ± যোগ করা হয় এবং যখন এটি বিয়োগ করা হয়।

$$3n^{2}-4n-15=0$$

এই সমীকরণটি আদর্শ আকারের: ax^{2}+bx+c=0। দ্বিঘাত সূত্রে a এর জন্য 3, b এর জন্য -4 এবং c এর জন্য -15 বিকল্প নিন, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}৷

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 এর বর্গ

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 কে 3 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12 কে -15 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

180 এ 16 যোগ করুন।

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 এর স্কোয়ার রুট নিন।

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4-এর বিপরীত হলো 4।

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

2 কে 3 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{4±14}{6}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন n=\frac{4±14}{6} যখন ± হল যোগ৷ 14 এ 4 যোগ করুন।

$$n=\frac{18}{6}$$

18 কে 6 দিয়ে ভাগ করুন।

$$n=3$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন n=\frac{4±14}{6} যখন ± হল বিয়োগ৷ 4 থেকে 14 বাদ দিন।

$$n=-\frac{10}{6}$$

2 -কে নির্গমন ও বাতিল করার মাধ্যমে \frac{-10}{6} ভগ্নাংশটি সর্বনিম্ন টার্মে কমিয়ে আনুন।

$$n=-\frac{5}{3}$$

সমীকরণটি এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

বর্গ সম্পূর্ণ করার ধাপগুলো

দ্বিঘাত সমীকরণ যেমন এটিকে বর্গ করে সমাধান করা যেতে পারে। বর্গ সম্পূর্ণ করতে সমীকরণটিকে অবশ্যই এইরকম হতে হবে:x^{2}+bx=c।

$$3n^{2}-4n-15=0$$

সমীকরণের উভয় দিকে 15 যোগ করুন।

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 কে তার থেকে বাদ দিলে 0 পড়ে থাকে।

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

0 থেকে -15 বাদ দিন।

$$3n^{2}-4n=15$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3 দিয়ে ভাগ করে 3 দিয়ে গুণ করে আগের অবস্থায় আনুন।

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

15 কে 3 দিয়ে ভাগ করুন।

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

-\frac{2}{3} পেতে x টার্মের গুণাঙ্ক -\frac{4}{3}-কে 2 দিয়ে ভাগ করুন। তারপর সমীকরণের উভয় দিকে -\frac{2}{3}-এর বর্গ যোগ করুন। এই ধাপে সমীকরণের বামদিক সম্পূর্ণ বর্গ হবে।

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

ভগ্নাংশের লব ও হরের বর্গ করার মাধ্যমে -\frac{2}{3} এর বর্গ করুন।

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

\frac{4}{9} এ 5 যোগ করুন।

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} কে ভাঙুন। সাধারণভাবে, x^{2}+bx+c হল সম্পূর্ণ বর্গ, এটিকে এইভাবে গুণনীয়ক করা যায়: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}।

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

সমীকরণের উভয় দিকে স্কোয়ার রুট ব্যবহার করুন।

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

সিমপ্লিফাই।

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{2}{3} যোগ করুন।

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$