13n^2-41n-120=0-এর সমাধান করুন

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

n এর জন্য সমাধান করুন

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে ফ্যাক্টরিং ব্যবহারের ধাপগুলো

সমীকরণটি সমাধান করতে, গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে বাম দিকেরটি গুণনীয়ক করুন। প্রথমত, বাম দিকেরটি 13n^{2}+an+bn-120 হিসাবে আবার লিখতে হবে। a এবং b খুঁজতে, সমাধান করতে হবে এমন একটি সিস্টেম সেট আপ করুন।

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

যেহেতু ab হল ঋণাত্মক, তাই a এবং b-এর একই বিপরীত প্রতীকগুলো থাকে। যেহেতু a+b হল ঋণাত্মক, তাই ধনাত্মকটির তুলনায় ঋণাত্মক সংখ্যাটির পরম মান বৃহত্তর হয়। এই জাতীয় সমস্ত জোড়া তালিকাবদ্ধ করুন যা পণ্য -1560 প্রদান করে।

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

প্রতিটি জোড়ার জন্য যোগফল গণনা করুন।

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

সমাধানটি হল সেই জোড়া যা -41 যোগফল প্রদান করে।

$$a=-65 b=24$$

\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right) হিসেবে 13n^{2}-41n-120 পুনরায় লিখুন৷

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

প্রথম গোষ্ঠীতে 13n এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীতে 24 ফ্যাক্টর আউট।

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করে সাধারণ টার্ম n-5 ফ্যাক্টর আউট করুন।

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজতে, n-5=0 এবং 13n+24=0 সমাধান করুন।

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার ধাপগুলো

ফর্মের সমস্ত সমীকরণ ax^{2}+bx+c=0 দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}। দ্বিঘাত সূত্র দুটি সমাধান দেয়, যখন ± যোগ করা হয় এবং যখন এটি বিয়োগ করা হয়।

$$13n^{2}-41n-120=0$$

এই সমীকরণটি আদর্শ আকারের: ax^{2}+bx+c=0। দ্বিঘাত সূত্রে a এর জন্য 13, b এর জন্য -41 এবং c এর জন্য -120 বিকল্প নিন, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}৷

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-41 এর বর্গ

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-4 কে 13 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-52 কে -120 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

6240 এ 1681 যোগ করুন।

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

7921 এর স্কোয়ার রুট নিন।

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

-41-এর বিপরীত হলো 41।

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

2 কে 13 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{41±89}{26}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন n=\frac{41±89}{26} যখন ± হল যোগ৷ 89 এ 41 যোগ করুন।

$$n=\frac{130}{26}$$

130 কে 26 দিয়ে ভাগ করুন।

$$n=5$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন n=\frac{41±89}{26} যখন ± হল বিয়োগ৷ 41 থেকে 89 বাদ দিন।

$$n=-\frac{48}{26}$$

2 -কে নির্গমন ও বাতিল করার মাধ্যমে \frac{-48}{26} ভগ্নাংশটি সর্বনিম্ন টার্মে কমিয়ে আনুন।

$$n=-\frac{24}{13}$$

সমীকরণটি এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

বর্গ সম্পূর্ণ করার ধাপগুলো

দ্বিঘাত সমীকরণ যেমন এটিকে বর্গ করে সমাধান করা যেতে পারে। বর্গ সম্পূর্ণ করতে সমীকরণটিকে অবশ্যই এইরকম হতে হবে:x^{2}+bx=c।

$$13n^{2}-41n-120=0$$

সমীকরণের উভয় দিকে 120 যোগ করুন।

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 কে তার থেকে বাদ দিলে 0 পড়ে থাকে।

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

0 থেকে -120 বাদ দিন।

$$13n^{2}-41n=120$$

13 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

13 দিয়ে ভাগ করে 13 দিয়ে গুণ করে আগের অবস্থায় আনুন।

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

-\frac{41}{26} পেতে x টার্মের গুণাঙ্ক -\frac{41}{13}-কে 2 দিয়ে ভাগ করুন। তারপর সমীকরণের উভয় দিকে -\frac{41}{26}-এর বর্গ যোগ করুন। এই ধাপে সমীকরণের বামদিক সম্পূর্ণ বর্গ হবে।

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

ভগ্নাংশের লব ও হরের বর্গ করার মাধ্যমে -\frac{41}{26} এর বর্গ করুন।

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{1681}{676} এ \frac{120}{13} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676} কে ভাঙুন। সাধারণভাবে, x^{2}+bx+c হল সম্পূর্ণ বর্গ, এটিকে এইভাবে গুণনীয়ক করা যায়: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}।

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

সমীকরণের উভয় দিকে স্কোয়ার রুট ব্যবহার করুন।

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

সিমপ্লিফাই।

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{41}{26} যোগ করুন।

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$