12r^2-11r-15=0-এর সমাধান করুন

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

r এর জন্য সমাধান করুন

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে ফ্যাক্টরিং ব্যবহারের ধাপগুলো

সমীকরণটি সমাধান করতে, গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে বাম দিকেরটি গুণনীয়ক করুন। প্রথমত, বাম দিকেরটি 12r^{2}+ar+br-15 হিসাবে আবার লিখতে হবে। a এবং b খুঁজতে, সমাধান করতে হবে এমন একটি সিস্টেম সেট আপ করুন।

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

যেহেতু ab হল ঋণাত্মক, তাই a এবং b-এর একই বিপরীত প্রতীকগুলো থাকে। যেহেতু a+b হল ঋণাত্মক, তাই ধনাত্মকটির তুলনায় ঋণাত্মক সংখ্যাটির পরম মান বৃহত্তর হয়। এই জাতীয় সমস্ত জোড়া তালিকাবদ্ধ করুন যা পণ্য -180 প্রদান করে।

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

প্রতিটি জোড়ার জন্য যোগফল গণনা করুন।

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

সমাধানটি হল সেই জোড়া যা -11 যোগফল প্রদান করে।

$$a=-20 b=9$$

\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) হিসেবে 12r^{2}-11r-15 পুনরায় লিখুন৷

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

প্রথম গোষ্ঠীতে 4r এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীতে 3 ফ্যাক্টর আউট।

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করে সাধারণ টার্ম 3r-5 ফ্যাক্টর আউট করুন।

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজতে, 3r-5=0 এবং 4r+3=0 সমাধান করুন।

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার ধাপগুলো

ফর্মের সমস্ত সমীকরণ ax^{2}+bx+c=0 দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}। দ্বিঘাত সূত্র দুটি সমাধান দেয়, যখন ± যোগ করা হয় এবং যখন এটি বিয়োগ করা হয়।

$$12r^{2}-11r-15=0$$

এই সমীকরণটি আদর্শ আকারের: ax^{2}+bx+c=0। দ্বিঘাত সূত্রে a এর জন্য 12, b এর জন্য -11 এবং c এর জন্য -15 বিকল্প নিন, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}৷

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-11 এর বর্গ

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4 কে 12 বার গুণ করুন।

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48 কে -15 বার গুণ করুন।

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

720 এ 121 যোগ করুন।

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841 এর স্কোয়ার রুট নিন।

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11-এর বিপরীত হলো 11।

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

2 কে 12 বার গুণ করুন।

$$r=\frac{11±29}{24}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন r=\frac{11±29}{24} যখন ± হল যোগ৷ 29 এ 11 যোগ করুন।

$$r=\frac{40}{24}$$

8 -কে নির্গমন ও বাতিল করার মাধ্যমে \frac{40}{24} ভগ্নাংশটি সর্বনিম্ন টার্মে কমিয়ে আনুন।

$$r=\frac{5}{3}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন r=\frac{11±29}{24} যখন ± হল বিয়োগ৷ 11 থেকে 29 বাদ দিন।

$$r=-\frac{18}{24}$$

6 -কে নির্গমন ও বাতিল করার মাধ্যমে \frac{-18}{24} ভগ্নাংশটি সর্বনিম্ন টার্মে কমিয়ে আনুন।

$$r=-\frac{3}{4}$$

সমীকরণটি এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

বর্গ সম্পূর্ণ করার ধাপগুলো

দ্বিঘাত সমীকরণ যেমন এটিকে বর্গ করে সমাধান করা যেতে পারে। বর্গ সম্পূর্ণ করতে সমীকরণটিকে অবশ্যই এইরকম হতে হবে:x^{2}+bx=c।

$$12r^{2}-11r-15=0$$

সমীকরণের উভয় দিকে 15 যোগ করুন।

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 কে তার থেকে বাদ দিলে 0 পড়ে থাকে।

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

0 থেকে -15 বাদ দিন।

$$12r^{2}-11r=15$$

12 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12 দিয়ে ভাগ করে 12 দিয়ে গুণ করে আগের অবস্থায় আনুন।

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

3 -কে নির্গমন ও বাতিল করার মাধ্যমে \frac{15}{12} ভগ্নাংশটি সর্বনিম্ন টার্মে কমিয়ে আনুন।

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

-\frac{11}{24} পেতে x টার্মের গুণাঙ্ক -\frac{11}{12}-কে 2 দিয়ে ভাগ করুন। তারপর সমীকরণের উভয় দিকে -\frac{11}{24}-এর বর্গ যোগ করুন। এই ধাপে সমীকরণের বামদিক সম্পূর্ণ বর্গ হবে।

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

ভগ্নাংশের লব ও হরের বর্গ করার মাধ্যমে -\frac{11}{24} এর বর্গ করুন।

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{121}{576} এ \frac{5}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576} কে ভাঙুন। সাধারণভাবে, x^{2}+bx+c হল সম্পূর্ণ বর্গ, এটিকে এইভাবে গুণনীয়ক করা যায়: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}।

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

সমীকরণের উভয় দিকে স্কোয়ার রুট ব্যবহার করুন।

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

সিমপ্লিফাই।

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{11}{24} যোগ করুন।

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$