y^2-15y=-54-এর সমাধান করুন

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

y এর জন্য সমাধান করুন

$$y=6$$

$$y=9$$

ফ্যাক্টরিং ব্যবহারের ধাপগুলো

উভয় সাইডে 54 যোগ করুন৷

$$y^{2}-15y+54=0$$

সমীকরণটি সমাধান করতে, y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) সূত্র ব্যবহার করে y^{2}-15y+54 গুণনীয়ক করুন। a এবং b খুঁজতে, সমাধান করতে হবে এমন একটি সিস্টেম সেট আপ করুন।

$$a+b=-15 ab=54$$

যেহেতু ab হল ধনাত্মক, তাই a এবং b-এর একই প্রতীক রয়েছে। যেহেতু a+b হল ঋণাত্মক, তাই a এবং b উভয়ই ঋণাত্মক হয়। এই জাতীয় সমস্ত জোড়া তালিকাবদ্ধ করুন যা পণ্য 54 প্রদান করে।

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

প্রতিটি জোড়ার জন্য যোগফল গণনা করুন।

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

সমাধানটি হল সেই জোড়া যা -15 যোগফল প্রদান করে।

$$a=-9 b=-6$$

প্রাপ্ত মানগুলো ব্যবহার করে গুণনীয়ক করা অভিব্যক্তি \left(y+a\right)\left(y+b\right) পুনরায় লিখুন।

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজতে, y-9=0 এবং y-6=0 সমাধান করুন।

$$y=9 y=6$$

গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে ফ্যাক্টরিং ব্যবহারের ধাপগুলো

উভয় সাইডে 54 যোগ করুন৷

$$y^{2}-15y+54=0$$

সমীকরণটি সমাধান করতে, গোষ্ঠীভুক্ত করার মাধ্যমে বাম দিকেরটি গুণনীয়ক করুন। প্রথমত, বাম দিকেরটি y^{2}+ay+by+54 হিসাবে আবার লিখতে হবে। a এবং b খুঁজতে, সমাধান করতে হবে এমন একটি সিস্টেম সেট আপ করুন।

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

যেহেতু ab হল ধনাত্মক, তাই a এবং b-এর একই প্রতীক রয়েছে। যেহেতু a+b হল ঋণাত্মক, তাই a এবং b উভয়ই ঋণাত্মক হয়। এই জাতীয় সমস্ত জোড়া তালিকাবদ্ধ করুন যা পণ্য 54 প্রদান করে।

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

প্রতিটি জোড়ার জন্য যোগফল গণনা করুন।

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

সমাধানটি হল সেই জোড়া যা -15 যোগফল প্রদান করে।

$$a=-9 b=-6$$

\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right) হিসেবে y^{2}-15y+54 পুনরায় লিখুন৷

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

প্রথম গোষ্ঠীতে y এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীতে -6 ফ্যাক্টর আউট।

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করে সাধারণ টার্ম y-9 ফ্যাক্টর আউট করুন।

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজতে, y-9=0 এবং y-6=0 সমাধান করুন।

$$y=9 y=6$$

দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার ধাপগুলো

ফর্মের সমস্ত সমীকরণ ax^{2}+bx+c=0 দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}। দ্বিঘাত সূত্র দুটি সমাধান দেয়, যখন ± যোগ করা হয় এবং যখন এটি বিয়োগ করা হয়।

$$y^{2}-15y=-54$$

সমীকরণের উভয় দিকে 54 যোগ করুন।

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

-54 কে তার থেকে বাদ দিলে 0 পড়ে থাকে।

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

0 থেকে -54 বাদ দিন।

$$y^{2}-15y+54=0$$

এই সমীকরণটি আদর্শ আকারের: ax^{2}+bx+c=0। দ্বিঘাত সূত্রে a এর জন্য 1, b এর জন্য -15 এবং c এর জন্য 54 বিকল্প নিন, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}৷

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

-15 এর বর্গ

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

-4 কে 54 বার গুণ করুন।

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

-216 এ 225 যোগ করুন।

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9 এর স্কোয়ার রুট নিন।

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15-এর বিপরীত হলো 15।

$$y=\frac{15±3}{2}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন y=\frac{15±3}{2} যখন ± হল যোগ৷ 3 এ 15 যোগ করুন।

$$y=\frac{18}{2}$$

18 কে 2 দিয়ে ভাগ করুন।

$$y=9$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন y=\frac{15±3}{2} যখন ± হল বিয়োগ৷ 15 থেকে 3 বাদ দিন।

$$y=\frac{12}{2}$$

12 কে 2 দিয়ে ভাগ করুন।

$$y=6$$

সমীকরণটি এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=9 y=6$$

বর্গ সম্পূর্ণ করার ধাপগুলো

দ্বিঘাত সমীকরণ যেমন এটিকে বর্গ করে সমাধান করা যেতে পারে। বর্গ সম্পূর্ণ করতে সমীকরণটিকে অবশ্যই এইরকম হতে হবে:x^{2}+bx=c।

$$y^{2}-15y=-54$$

-\frac{15}{2} পেতে x টার্মের গুণাঙ্ক -15-কে 2 দিয়ে ভাগ করুন। তারপর সমীকরণের উভয় দিকে -\frac{15}{2}-এর বর্গ যোগ করুন। এই ধাপে সমীকরণের বামদিক সম্পূর্ণ বর্গ হবে।

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

ভগ্নাংশের লব ও হরের বর্গ করার মাধ্যমে -\frac{15}{2} এর বর্গ করুন।

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

\frac{225}{4} এ -54 যোগ করুন।

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

y^{2}-15y+\frac{225}{4} কে ভাঙুন। সাধারণভাবে, x^{2}+bx+c হল সম্পূর্ণ বর্গ, এটিকে এইভাবে গুণনীয়ক করা যায়: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}।

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

সমীকরণের উভয় দিকে স্কোয়ার রুট ব্যবহার করুন।

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

সিমপ্লিফাই।

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{15}{2} যোগ করুন।

$$y=9 y=6$$