{l}{x+3y=5}{2x-5y=3}x-এর সমাধান করুন

$$\left.\begin{array} { l } { x + 3 y = 5 } \\ { 2 x - 5 y = 3 } \end{array} \right\} x$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} \approx 3.090909091$$

$$y=\frac{7}{11}\approx 0.636363636$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x+3y=5,2x-5y=3$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$x+3y=5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3y বাদ দিন।

$$x=-3y+5$$

অন্য সমীকরণ 2x-5y=3 এ x এর জন্য -3y+5 বিপরীত করু ন।

$$2\left(-3y+5\right)-5y=3$$

2 কে -3y+5 বার গুণ করুন।

$$-6y+10-5y=3$$

-5y এ -6y যোগ করুন।

$$-11y+10=3$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 10 বাদ দিন।

$$-11y=-7$$

-11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{7}{11}$$

x=-3y+5 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{7}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-3\times \frac{7}{11}+5$$

-3 কে \frac{7}{11} বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{21}{11}+5$$

-\frac{21}{11} এ 5 যোগ করুন।

$$x=\frac{34}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{7}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$x+3y=5,2x-5y=3$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-3\times 2}&-\frac{3}{-5-3\times 2}\\-\frac{2}{-5-3\times 2}&\frac{1}{-5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\times 5+\frac{3}{11}\times 3\\\frac{2}{11}\times 5-\frac{1}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{11}\\\frac{7}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{7}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$x+3y=5,2x-5y=3$$

x এবং 2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন।

$$2x+2\times 3y=2\times 5,2x-5y=3$$

সিমপ্লিফাই।

$$2x+6y=10,2x-5y=3$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 2x+6y=10 থেকে 2x-5y=3 বাদ দিন।

$$2x-2x+6y+5y=10-3$$

-2x এ 2x যোগ করুন। টার্ম 2x এবং -2x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$6y+5y=10-3$$

5y এ 6y যোগ করুন।

$$11y=10-3$$

-3 এ 10 যোগ করুন।

$$11y=7$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{7}{11}$$

2x-5y=3 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{7}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2x-5\times \frac{7}{11}=3$$

-5 কে \frac{7}{11} বার গুণ করুন।

$$2x-\frac{35}{11}=3$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{35}{11} যোগ করুন।

$$2x=\frac{68}{11}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{34}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{7}{11}$$