{l}{4x+2y=20}{-4x+3y=20}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x + 2 y = 20 }\\{ - 4 x + 3 y = 20 }\end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=1$$

$$y=8$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+2y=20,-4x+3y=20$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+2y=20$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2y বাদ দিন।

$$4x=-2y+20$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+20\right)$$

\frac{1}{4} কে -2y+20 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{2}y+5$$

অন্য সমীকরণ -4x+3y=20 এ x এর জন্য -\frac{y}{2}+5 বিপরীত করু ন।

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+5\right)+3y=20$$

-4 কে -\frac{y}{2}+5 বার গুণ করুন।

$$2y-20+3y=20$$

3y এ 2y যোগ করুন।

$$5y-20=20$$

সমীকরণের উভয় দিকে 20 যোগ করুন।

$$5y=40$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=8$$

x=-\frac{1}{2}y+5 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 8 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{2}\times 8+5$$

-\frac{1}{2} কে 8 বার গুণ করুন।

$$x=-4+5$$

-4 এ 5 যোগ করুন।

$$x=1$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=1,y=8$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+2y=20,-4x+3y=20$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{4\times 3-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-2\left(-4\right)}&\frac{4}{4\times 3-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\\\frac{1}{5}\times 20+\frac{1}{5}\times 20\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=1,y=8$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+2y=20,-4x+3y=20$$

4x এবং -4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$-4\times 4x-4\times 2y=-4\times 20,4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 20$$

সিমপ্লিফাই।

$$-16x-8y=-80,-16x+12y=80$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -16x-8y=-80 থেকে -16x+12y=80 বাদ দিন।

$$-16x+16x-8y-12y=-80-80$$

16x এ -16x যোগ করুন। টার্ম -16x এবং 16x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-8y-12y=-80-80$$

-12y এ -8y যোগ করুন।

$$-20y=-80-80$$

-80 এ -80 যোগ করুন।

$$-20y=-160$$

-20 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=8$$

-4x+3y=20 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 8 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-4x+3\times 8=20$$

3 কে 8 বার গুণ করুন।

$$-4x+24=20$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 24 বাদ দিন।

$$-4x=-4$$

-4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=1$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=1,y=8$$