{l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$12x-4y=-4$$

সমীকরণের উভয় দিকে 4y যোগ করুন।

$$12x=4y-4$$

12 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

\frac{1}{12} কে -4+4y বার গুণ করুন।

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

অন্য সমীকরণ 3x+8y=17 এ x এর জন্য \frac{-1+y}{3} বিপরীত করু ন।

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

3 কে \frac{-1+y}{3} বার গুণ করুন।

$$y-1+8y=17$$

8y এ y যোগ করুন।

$$9y-1=17$$

সমীকরণের উভয় দিকে 1 যোগ করুন।

$$9y=18$$

9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=2$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} কে 2 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{2-1}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{2}{3} এ -\frac{1}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{1}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

12x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 12 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

সিমপ্লিফাই।

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 36x-12y=-12 থেকে 36x+96y=204 বাদ দিন।

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

-36x এ 36x যোগ করুন। টার্ম 36x এবং -36x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-12y-96y=-12-204$$

-96y এ -12y যোগ করুন।

$$-108y=-12-204$$

-204 এ -12 যোগ করুন।

$$-108y=-216$$

-108 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=2$$

3x+8y=17 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+8\times 2=17$$

8 কে 2 বার গুণ করুন।

$$3x+16=17$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 16 বাদ দিন।

$$3x=1$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{1}{3},y=2$$