{r}{4x-2y=5}{-3x+5y=-2}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x-2y=5,-3x+5y=-2$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x-2y=5$$

সমীকরণের উভয় দিকে 2y যোগ করুন।

$$4x=2y+5$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{4} কে 2y+5 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

অন্য সমীকরণ -3x+5y=-2 এ x এর জন্য \frac{y}{2}+\frac{5}{4} বিপরীত করু ন।

$$-3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)+5y=-2$$

-3 কে \frac{y}{2}+\frac{5}{4} বার গুণ করুন।

$$-\frac{3}{2}y-\frac{15}{4}+5y=-2$$

5y এ -\frac{3y}{2} যোগ করুন।

$$\frac{7}{2}y-\frac{15}{4}=-2$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{15}{4} যোগ করুন।

$$\frac{7}{2}y=\frac{7}{4}$$

\frac{7}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{1}{2}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{1}{2} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{4}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{1}{2} কে \frac{1}{2} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{1+5}{4}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{1}{4} এ \frac{5}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{3}{2}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x-2y=5,-3x+5y=-2$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{14}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\times 5+\frac{1}{7}\left(-2\right)\\\frac{3}{14}\times 5+\frac{2}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x-2y=5,-3x+5y=-2$$

4x এবং -3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$-3\times 4x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,4\left(-3\right)x+4\times 5y=4\left(-2\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$-12x+6y=-15,-12x+20y=-8$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -12x+6y=-15 থেকে -12x+20y=-8 বাদ দিন।

$$-12x+12x+6y-20y=-15+8$$

12x এ -12x যোগ করুন। টার্ম -12x এবং 12x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$6y-20y=-15+8$$

-20y এ 6y যোগ করুন।

$$-14y=-15+8$$

8 এ -15 যোগ করুন।

$$-14y=-7$$

-14 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{1}{2}$$

-3x+5y=-2 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{1}{2} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-3x+5\times \frac{1}{2}=-2$$

5 কে \frac{1}{2} বার গুণ করুন।

$$-3x+\frac{5}{2}=-2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{5}{2} বাদ দিন।

$$-3x=-\frac{9}{2}$$

-3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{3}{2}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$