{l}{y=k(x-sqrt{3})}{x^2+4y^2-4=0}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { y = k ( x - \sqrt { 3 } ) } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}-\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}$$

পরিবর্ত এবং দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। k কে x-\sqrt{3} দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$y=kx-k\sqrt{3}$$

উভয় দিক থেকে kx বিয়োগ করুন।

$$y-kx=-k\sqrt{3}$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় সাইডে 4 যোগ করুন৷ শূন্যের সাথে যে কোনও সংখ্যা যোগ করলে সেই সংখ্যায় পাওয়া যায়।

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k,x^{2}+4y^{2}=4$$

সমান চিহ্নের বাম দিকে y পৃথক করে y-এর জন্য y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k সমাধান করুন।

$$y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \left(-k\right)x বাদ দিন।

$$y=kx-\sqrt{3}k$$

অন্য সমীকরণ x^{2}+4y^{2}=4 এ y এর জন্য kx-\sqrt{3}k বিপরীত করু ন।

$$x^{2}+4\left(kx-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

kx-\sqrt{3}k এর বর্গ

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2k\left(-\sqrt{3}k\right)x+\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}\right)=4$$

4 কে k^{2}x^{2}+2k\left(-\sqrt{3}k\right)x+\left(-\sqrt{3}k\right)^{2} বার গুণ করুন।

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

4k^{2}x^{2} এ x^{2} যোগ করুন।

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4 বাদ দিন।

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}-4=0$$

এই সমীকরণটি আদর্শ আকারের: ax^{2}+bx+c=0। দ্বিঘাত সূত্রে a এর জন্য 1+4k^{2}, b এর জন্য 4\times 2k\left(-k\sqrt{3}\right) এবং c এর জন্য 12k^{2}-4 বিকল্প নিন, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}৷

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{\left(8k\left(-\sqrt{3}k\right)\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

4\times 2k\left(-k\sqrt{3}\right) এর বর্গ

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4 কে 1+4k^{2} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2} কে 12k^{2}-4 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}+16+16k^{2}-192k^{4}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

16k^{2}-192k^{4}+16 এ 192k^{4} যোগ করুন।

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{16k^{2}+16}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

16k^{2}+16 এর স্কোয়ার রুট নিন।

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±4\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2 কে 1+4k^{2} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2} যখন ± হল যোগ৷ 4\sqrt{k^{2}+1} এ 8\sqrt{3}k^{2} যোগ করুন।

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}+4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

8\sqrt{3}k^{2}+4\sqrt{k^{2}+1} কে 2+8k^{2} দিয়ে ভাগ করুন।

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2} যখন ± হল বিয়োগ৷ 8\sqrt{3}k^{2} থেকে 4\sqrt{k^{2}+1} বাদ দিন।

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}-4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

8\sqrt{3}k^{2}-4\sqrt{k^{2}+1} কে 2+8k^{2} দিয়ে ভাগ করুন।

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

x এর দুটি সমাধান আছে: \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} ও \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}}। y=kx-\sqrt{3}k সমীকরণে উভয় সমীকরণেই ব্যবহার করা যাবে y এর জন্য সংশ্লিষ্ট সমাধান খোঁজার সমাধান করতে x এর জন্য \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} কে পরিবর্ত করুন।

$$y=k\times \frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}-\sqrt{3}k$$

k কে \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} বার গুণ করুন।

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k$$

y=kx-\sqrt{3}k সমীকরণে \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} এর জন্য x কে পরিবর্ত করুন এবং উভয় সমীকরণেই ব্যবহার করা যাবে y এর জন্য সংশ্লিষ্ট সমাধান খুঁজতে সমাধান করুন।

$$y=k\times \frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}-\sqrt{3}k$$

k কে \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} বার গুণ করুন।

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k,x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k,x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}-\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=\frac{\sqrt{3}\left(3k^{2}-1\right)}{6k^{2}}\text{, }y=-\frac{\sqrt{3}\left(3k^{2}+1\right)}{6k}\text{, }&k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\end{matrix}\right.$$