{l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

y, x এর জন্য সমাধান করুন

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে \frac{1}{3}x বিয়োগ করুন।

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে \frac{1}{9}x বিয়োগ করুন।

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের y পৃথক করে y-এর জন্য সমাধান করুন।

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{x}{3} যোগ করুন।

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

অন্য সমীকরণ y-\frac{1}{9}x=-1 এ y এর জন্য \frac{x}{3}+6 বিপরীত করু ন।

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

-\frac{x}{9} এ \frac{x}{3} যোগ করুন।

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 6 বাদ দিন।

$$\frac{2}{9}x=-7$$

\frac{2}{9} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$x=-\frac{63}{2}$$

y=\frac{1}{3}x+6 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{63}{2} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{1}{3} কে -\frac{63}{2} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

-\frac{21}{2} এ 6 যোগ করুন।

$$y=-\frac{9}{2}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে \frac{1}{3}x বিয়োগ করুন।

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে \frac{1}{9}x বিয়োগ করুন।

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট y এবং x বের করুন।

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে \frac{1}{3}x বিয়োগ করুন।

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে \frac{1}{9}x বিয়োগ করুন।

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে y-\frac{1}{3}x=6 থেকে y-\frac{1}{9}x=-1 বাদ দিন।

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

-y এ y যোগ করুন। টার্ম y এবং -y বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

\frac{x}{9} এ -\frac{x}{3} যোগ করুন।

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

1 এ 6 যোগ করুন।

$$-\frac{2}{9}x=7$$

-\frac{2}{9} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$x=-\frac{63}{2}$$

y-\frac{1}{9}x=-1 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{63}{2} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{1}{9} কে -\frac{63}{2} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{7}{2} বাদ দিন।

$$y=-\frac{9}{2}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$