{l}{x-3y=11}{11y+4x=12}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 11 } \\ { 11 y + 4 x = 12 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{157}{23} = 6\frac{19}{23} \approx 6.826086957$$

$$y = -\frac{32}{23} = -1\frac{9}{23} \approx -1.391304348$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$x-3y=11$$

সমীকরণের উভয় দিকে 3y যোগ করুন।

$$x=3y+11$$

অন্য সমীকরণ 4x+11y=12 এ x এর জন্য 3y+11 বিপরীত করু ন।

$$4\left(3y+11\right)+11y=12$$

4 কে 3y+11 বার গুণ করুন।

$$12y+44+11y=12$$

11y এ 12y যোগ করুন।

$$23y+44=12$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 44 বাদ দিন।

$$23y=-32$$

23 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{32}{23}$$

x=3y+11 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{32}{23} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=3\left(-\frac{32}{23}\right)+11$$

3 কে -\frac{32}{23} বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{96}{23}+11$$

-\frac{96}{23} এ 11 যোগ করুন।

$$x=\frac{157}{23}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{11-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{11-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{11-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\times 11+\frac{3}{23}\times 12\\-\frac{4}{23}\times 11+\frac{1}{23}\times 12\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{157}{23}\\-\frac{32}{23}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

x এবং 4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন।

$$4x+4\left(-3\right)y=4\times 11,4x+11y=12$$

সিমপ্লিফাই।

$$4x-12y=44,4x+11y=12$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 4x-12y=44 থেকে 4x+11y=12 বাদ দিন।

$$4x-4x-12y-11y=44-12$$

-4x এ 4x যোগ করুন। টার্ম 4x এবং -4x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-12y-11y=44-12$$

-11y এ -12y যোগ করুন।

$$-23y=44-12$$

-12 এ 44 যোগ করুন।

$$-23y=32$$

-23 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{32}{23}$$

4x+11y=12 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{32}{23} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4x+11\left(-\frac{32}{23}\right)=12$$

11 কে -\frac{32}{23} বার গুণ করুন।

$$4x-\frac{352}{23}=12$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{352}{23} যোগ করুন।

$$4x=\frac{628}{23}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{157}{23}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$