{l}{x+y=500}{25x+35y=1450}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$x+y=500$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$x=-y+500$$

অন্য সমীকরণ 25x+35y=1450 এ x এর জন্য -y+500 বিপরীত করু ন।

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

25 কে -y+500 বার গুণ করুন।

$$-25y+12500+35y=1450$$

35y এ -25y যোগ করুন।

$$10y+12500=1450$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 12500 বাদ দিন।

$$10y=-11050$$

10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-1105$$

x=-y+500 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -1105 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

-1 কে -1105 বার গুণ করুন।

$$x=1105+500$$

1105 এ 500 যোগ করুন।

$$x=1605$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=1605,y=-1105$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=1605,y=-1105$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

x এবং 25x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 25 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন।

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

সিমপ্লিফাই।

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 25x+25y=12500 থেকে 25x+35y=1450 বাদ দিন।

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

-25x এ 25x যোগ করুন। টার্ম 25x এবং -25x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$25y-35y=12500-1450$$

-35y এ 25y যোগ করুন।

$$-10y=12500-1450$$

-1450 এ 12500 যোগ করুন।

$$-10y=11050$$

-10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-1105$$

25x+35y=1450 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -1105 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

35 কে -1105 বার গুণ করুন।

$$25x-38675=1450$$

সমীকরণের উভয় দিকে 38675 যোগ করুন।

$$25x=40125$$

25 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=1605$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=1605,y=-1105$$