{l}{x+y=25}{5x+4y=115}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 25 } \\ { 5 x + 4 y = 115 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=15$$

$$y=10$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x+y=25,5x+4y=115$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$x+y=25$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$x=-y+25$$

অন্য সমীকরণ 5x+4y=115 এ x এর জন্য -y+25 বিপরীত করু ন।

$$5\left(-y+25\right)+4y=115$$

5 কে -y+25 বার গুণ করুন।

$$-5y+125+4y=115$$

4y এ -5y যোগ করুন।

$$-y+125=115$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 125 বাদ দিন।

$$-y=-10$$

-1 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=10$$

x=-y+25 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 10 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-10+25$$

-10 এ 25 যোগ করুন।

$$x=15$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=15,y=10$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$x+y=25,5x+4y=115$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\115\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\5&4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\115\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\115\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\115\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5}&-\frac{1}{4-5}\\-\frac{5}{4-5}&\frac{1}{4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\115\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\115\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 25+115\\5\times 25-115\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=15,y=10$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$x+y=25,5x+4y=115$$

x এবং 5x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন।

$$5x+5y=5\times 25,5x+4y=115$$

সিমপ্লিফাই।

$$5x+5y=125,5x+4y=115$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 5x+5y=125 থেকে 5x+4y=115 বাদ দিন।

$$5x-5x+5y-4y=125-115$$

-5x এ 5x যোগ করুন। টার্ম 5x এবং -5x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$5y-4y=125-115$$

-4y এ 5y যোগ করুন।

$$y=125-115$$

-115 এ 125 যোগ করুন।

$$y=10$$

5x+4y=115 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 10 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$5x+4\times 10=115$$

4 কে 10 বার গুণ করুন।

$$5x+40=115$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 40 বাদ দিন।

$$5x=75$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=15$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=15,y=10$$