{l}{x+4y=41}{4x+5y=65}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 41 } \\ { 4 x + 5 y = 65 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=5$$

$$y=9$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$x+4y=41$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4y বাদ দিন।

$$x=-4y+41$$

অন্য সমীকরণ 4x+5y=65 এ x এর জন্য -4y+41 বিপরীত করু ন।

$$4\left(-4y+41\right)+5y=65$$

4 কে -4y+41 বার গুণ করুন।

$$-16y+164+5y=65$$

5y এ -16y যোগ করুন।

$$-11y+164=65$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 164 বাদ দিন।

$$-11y=-99$$

-11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=9$$

x=-4y+41 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 9 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-4\times 9+41$$

-4 কে 9 বার গুণ করুন।

$$x=-36+41$$

-36 এ 41 যোগ করুন।

$$x=5$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=5,y=9$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 41+\frac{4}{11}\times 65\\\frac{4}{11}\times 41-\frac{1}{11}\times 65\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=5,y=9$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

x এবং 4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন।

$$4x+4\times 4y=4\times 41,4x+5y=65$$

সিমপ্লিফাই।

$$4x+16y=164,4x+5y=65$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 4x+16y=164 থেকে 4x+5y=65 বাদ দিন।

$$4x-4x+16y-5y=164-65$$

-4x এ 4x যোগ করুন। টার্ম 4x এবং -4x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$16y-5y=164-65$$

-5y এ 16y যোগ করুন।

$$11y=164-65$$

-65 এ 164 যোগ করুন।

$$11y=99$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=9$$

4x+5y=65 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 9 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4x+5\times 9=65$$

5 কে 9 বার গুণ করুন।

$$4x+45=65$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 45 বাদ দিন।

$$4x=20$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=5$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=5,y=9$$