{l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

সমীকরণের উভয় দিকে ny যোগ করুন।

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

m দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m} কে ny+m^{2}+n^{2} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

অন্য সমীকরণ x+y=2m এ x এর জন্য \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} বিপরীত করু ন।

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

y এ \frac{ny}{m} যোগ করুন।

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে m+\frac{n^{2}}{m} বাদ দিন।

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{m+n}{m} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে m-n ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m} কে m-n বার গুণ করুন।

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n\left(m-n\right)}{m} এ m+\frac{n^{2}}{m} যোগ করুন।

$$x=m+n$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=m+n,y=m-n$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=m+n,y=m-n$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx এবং x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে m দিয়ে গুণ করুন।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

সিমপ্লিফাই।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} থেকে mx+my=2m^{2} বাদ দিন।

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-mx এ mx যোগ করুন। টার্ম mx এবং -mx বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-my এ -ny যোগ করুন।

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-2m^{2} এ m^{2}+n^{2} যোগ করুন।

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

-m-n দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=m-n$$

x+y=2m এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে m-n ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x+m-n=2m$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে m-n বাদ দিন।

$$x=m+n$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=m+n,y=m-n$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

সমীকরণের উভয় দিকে ny যোগ করুন।

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

m দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m} কে ny+m^{2}+n^{2} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

অন্য সমীকরণ x+y=2m এ x এর জন্য \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} বিপরীত করু ন।

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

y এ \frac{ny}{m} যোগ করুন।

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে m+\frac{n^{2}}{m} বাদ দিন।

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{m+n}{m} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে m-n ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m} কে m-n বার গুণ করুন।

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n\left(m-n\right)}{m} এ m+\frac{n^{2}}{m} যোগ করুন।

$$x=m+n$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=m+n,y=m-n$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=m+n,y=m-n$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx এবং x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে m দিয়ে গুণ করুন।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

সিমপ্লিফাই।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} থেকে mx+my=2m^{2} বাদ দিন।

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-mx এ mx যোগ করুন। টার্ম mx এবং -mx বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-my এ -ny যোগ করুন।

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-2m^{2} এ m^{2}+n^{2} যোগ করুন।

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

-m-n দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=m-n$$

x+y=2m এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে m-n ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x+m-n=2m$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে m-n বাদ দিন।

$$x=m+n$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=m+n,y=m-n$$