{l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে y বিয়োগ করুন।

$$fx-y=7$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 9x বিয়োগ করুন।

$$fy-9x=8$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$fx-y=7$$

সমীকরণের উভয় দিকে y যোগ করুন।

$$fx=y+7$$

f দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f} কে y+7 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

অন্য সমীকরণ -9x+fy=8 এ x এর জন্য \frac{7+y}{f} বিপরীত করু ন।

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9 কে \frac{7+y}{f} বার গুণ করুন।

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

fy এ -\frac{9y}{f} যোগ করুন।

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{63}{f} যোগ করুন।

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

f-\frac{9}{f} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{63+8f}{f^{2}-9} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f} কে \frac{63+8f}{f^{2}-9} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} এ \frac{7}{f} যোগ করুন।

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে y বিয়োগ করুন।

$$fx-y=7$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 9x বিয়োগ করুন।

$$fy-9x=8$$

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে y বিয়োগ করুন।

$$fx-y=7$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 9x বিয়োগ করুন।

$$fy-9x=8$$

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx এবং -9x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -9 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে f দিয়ে গুণ করুন।

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

সিমপ্লিফাই।

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে \left(-9f\right)x+9y=-63 থেকে \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f বাদ দিন।

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9fx এ -9fx যোগ করুন। টার্ম -9fx এবং 9fx বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-f^{2}y এ 9y যোগ করুন।

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-8f এ -63 যোগ করুন।

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

-f^{2}+9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{63+8f}{9-f^{2}} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f কে -\frac{63+8f}{9-f^{2}} বার গুণ করুন।

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} যোগ করুন।

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

-9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে y বিয়োগ করুন।

$$fx-y=7$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 9x বিয়োগ করুন।

$$fy-9x=8$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$fx-y=7$$

সমীকরণের উভয় দিকে y যোগ করুন।

$$fx=y+7$$

f দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f} কে y+7 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

অন্য সমীকরণ -9x+fy=8 এ x এর জন্য \frac{7+y}{f} বিপরীত করু ন।

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9 কে \frac{7+y}{f} বার গুণ করুন।

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

fy এ -\frac{9y}{f} যোগ করুন।

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{63}{f} যোগ করুন।

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

f-\frac{9}{f} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{63+8f}{f^{2}-9} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f} কে \frac{63+8f}{f^{2}-9} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} এ \frac{7}{f} যোগ করুন।

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে y বিয়োগ করুন।

$$fx-y=7$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 9x বিয়োগ করুন।

$$fy-9x=8$$

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে y বিয়োগ করুন।

$$fx-y=7$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 9x বিয়োগ করুন।

$$fy-9x=8$$

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx এবং -9x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -9 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে f দিয়ে গুণ করুন।

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

সিমপ্লিফাই।

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে \left(-9f\right)x+9y=-63 থেকে \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f বাদ দিন।

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9fx এ -9fx যোগ করুন। টার্ম -9fx এবং 9fx বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-f^{2}y এ 9y যোগ করুন।

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-8f এ -63 যোগ করুন।

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

-f^{2}+9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{63+8f}{9-f^{2}} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f কে -\frac{63+8f}{9-f^{2}} বার গুণ করুন।

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} যোগ করুন।

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

-9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$