{l}{cx+y=69}{2x+y=87}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$cx+y=69,2x+y=87$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$cx+y=69$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$cx=-y+69$$

c দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

\frac{1}{c} কে -y+69 বার গুণ করুন।

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

অন্য সমীকরণ 2x+y=87 এ x এর জন্য \frac{69-y}{c} বিপরীত করু ন।

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

2 কে \frac{69-y}{c} বার গুণ করুন।

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

y এ -\frac{2y}{c} যোগ করুন।

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{138}{c} বাদ দিন।

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

\frac{-2+c}{c} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

-\frac{1}{c} কে \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

-\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)} এ \frac{69}{c} যোগ করুন।

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$cx+y=69,2x+y=87$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$cx+y=69,2x+y=87$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে cx+y=69 থেকে 2x+y=87 বাদ দিন।

$$cx-2x+y-y=69-87$$

-y এ y যোগ করুন। টার্ম y এবং -y বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$cx-2x=69-87$$

-2x এ cx যোগ করুন।

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

-87 এ 69 যোগ করুন।

$$\left(c-2\right)x=-18$$

c-2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

2x+y=87 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{18}{c-2} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

2 কে -\frac{18}{c-2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{36}{c-2} যোগ করুন।

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$