{l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$Ax+By=C$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে By বাদ দিন।

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

A দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

\frac{1}{A} কে -By+C বার গুণ করুন।

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

অন্য সমীকরণ Dx+Cy=F এ x এর জন্য \frac{-By+C}{A} বিপরীত করু ন।

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

D কে \frac{-By+C}{A} বার গুণ করুন।

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Cy এ -\frac{DBy}{A} যোগ করুন।

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{DC}{A} বাদ দিন।

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

C-\frac{DB}{A} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{FA-DC}{CA-DB} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B}{A} কে \frac{FA-DC}{CA-DB} বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)} এ \frac{C}{A} যোগ করুন।

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ax এবং Dx সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে D দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে A দিয়ে গুণ করুন।

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

সিমপ্লিফাই।

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে ADx+BDy=CD থেকে ADx+ACy=AF বাদ দিন।

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-DAx এ DAx যোগ করুন। টার্ম DAx এবং -DAx বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-ACy এ DBy যোগ করুন।

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

DB-AC দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Dx+Cy=F এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{DC-AF}{DB-AC} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

C কে \frac{DC-AF}{DB-AC} বার গুণ করুন।

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} বাদ দিন।

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

D দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$