{l}{9x+13y=9}{2x+y=11}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$9x+13y=9$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 13y বাদ দিন।

$$9x=-13y+9$$

9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

\frac{1}{9} কে -13y+9 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

অন্য সমীকরণ 2x+y=11 এ x এর জন্য -\frac{13y}{9}+1 বিপরীত করু ন।

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

2 কে -\frac{13y}{9}+1 বার গুণ করুন।

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

y এ -\frac{26y}{9} যোগ করুন।

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2 বাদ দিন।

$$-\frac{17}{9}y=9$$

-\frac{17}{9} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{81}{17}$$

x=-\frac{13}{9}y+1 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{81}{17} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{13}{9} কে -\frac{81}{17} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{117}{17}+1$$

\frac{117}{17} এ 1 যোগ করুন।

$$x=\frac{134}{17}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

9x এবং 2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 9 দিয়ে গুণ করুন।

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

সিমপ্লিফাই।

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 18x+26y=18 থেকে 18x+9y=99 বাদ দিন।

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

-18x এ 18x যোগ করুন। টার্ম 18x এবং -18x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$26y-9y=18-99$$

-9y এ 26y যোগ করুন।

$$17y=18-99$$

-99 এ 18 যোগ করুন।

$$17y=-81$$

17 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{81}{17}$$

2x+y=11 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{81}{17} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{81}{17} যোগ করুন।

$$2x=\frac{268}{17}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{134}{17}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$