{l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$8x-5y=10$$

সমীকরণের উভয় দিকে 5y যোগ করুন।

$$8x=5y+10$$

8 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{8} কে 10+5y বার গুণ করুন।

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

অন্য সমীকরণ 6x-4y=11 এ x এর জন্য \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} বিপরীত করু ন।

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

6 কে \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} বার গুণ করুন।

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

-4y এ \frac{15y}{4} যোগ করুন।

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{15}{2} বাদ দিন।

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

-4 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$y=-14$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -14 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

\frac{5}{8} কে -14 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{35}{4} এ \frac{5}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{15}{2}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

8x এবং 6x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 6 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 8 দিয়ে গুণ করুন।

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

সিমপ্লিফাই।

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 48x-30y=60 থেকে 48x-32y=88 বাদ দিন।

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

-48x এ 48x যোগ করুন। টার্ম 48x এবং -48x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-30y+32y=60-88$$

32y এ -30y যোগ করুন।

$$2y=60-88$$

-88 এ 60 যোগ করুন।

$$2y=-28$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-14$$

6x-4y=11 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -14 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

-4 কে -14 বার গুণ করুন।

$$6x+56=11$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 56 বাদ দিন।

$$6x=-45$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{15}{2}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$