{l}{8x+3y=103.1}{12x+8y=139.4}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 103.1 } \\ { 12 x + 8 y = 139.4 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{2033}{140} = 14\frac{73}{140} \approx 14.521428571$$

$$y = -\frac{61}{14} = -4\frac{5}{14} \approx -4.357142857$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$8x+3y=103.1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3y বাদ দিন।

$$8x=-3y+103.1$$

8 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+103.1\right)$$

\frac{1}{8} কে -3y+103.1 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}$$

অন্য সমীকরণ 12x+8y=139.4 এ x এর জন্য -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} বিপরীত করু ন।

$$12\left(-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}\right)+8y=139.4$$

12 কে -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} বার গুণ করুন।

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3093}{20}+8y=139.4$$

8y এ -\frac{9y}{2} যোগ করুন।

$$\frac{7}{2}y+\frac{3093}{20}=139.4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{3093}{20} বাদ দিন।

$$\frac{7}{2}y=-\frac{61}{4}$$

\frac{7}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{61}{14}$$

x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{61}{14} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{8}\left(-\frac{61}{14}\right)+\frac{1031}{80}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{3}{8} কে -\frac{61}{14} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{183}{112}+\frac{1031}{80}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{183}{112} এ \frac{1031}{80} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{2033}{140}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-3\times 12}&-\frac{3}{8\times 8-3\times 12}\\-\frac{12}{8\times 8-3\times 12}&\frac{8}{8\times 8-3\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{28}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 103.1-\frac{3}{28}\times 139.4\\-\frac{3}{7}\times 103.1+\frac{2}{7}\times 139.4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2033}{140}\\-\frac{61}{14}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

8x এবং 12x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 12 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 8 দিয়ে গুণ করুন।

$$12\times 8x+12\times 3y=12\times 103.1,8\times 12x+8\times 8y=8\times 139.4$$

সিমপ্লিফাই।

$$96x+36y=1237.2,96x+64y=1115.2$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 96x+36y=1237.2 থেকে 96x+64y=1115.2 বাদ দিন।

$$96x-96x+36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

-96x এ 96x যোগ করুন। টার্ম 96x এবং -96x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

-64y এ 36y যোগ করুন।

$$-28y=\frac{6186-5576}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -1115.2 এ 1237.2 যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$-28y=122$$

-28 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{61}{14}$$

12x+8y=139.4 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{61}{14} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$12x+8\left(-\frac{61}{14}\right)=139.4$$

8 কে -\frac{61}{14} বার গুণ করুন।

$$12x-\frac{244}{7}=139.4$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{244}{7} যোগ করুন।

$$12x=\frac{6099}{35}$$

12 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{2033}{140}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$