{l}{7x-3y=4}{2x-4y=1}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 3 y = 4 } \\ { 2 x - 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$7x-3y=4,2x-4y=1$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$7x-3y=4$$

সমীকরণের উভয় দিকে 3y যোগ করুন।

$$7x=3y+4$$

7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{7}\left(3y+4\right)$$

\frac{1}{7} কে 3y+4 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

অন্য সমীকরণ 2x-4y=1 এ x এর জন্য \frac{3y+4}{7} বিপরীত করু ন।

$$2\left(\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)-4y=1$$

2 কে \frac{3y+4}{7} বার গুণ করুন।

$$\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}-4y=1$$

-4y এ \frac{6y}{7} যোগ করুন।

$$-\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{8}{7} বাদ দিন।

$$-\frac{22}{7}y=-\frac{1}{7}$$

-\frac{22}{7} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{1}{22}$$

x=\frac{3}{7}y+\frac{4}{7} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{1}{22} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{3}{7}\times \frac{1}{22}+\frac{4}{7}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{3}{7} কে \frac{1}{22} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{3}{154}+\frac{4}{7}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{3}{154} এ \frac{4}{7} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{13}{22}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{13}{22},y=\frac{1}{22}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$7x-3y=4,2x-4y=1$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}7&-3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-3\\2&-4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{7\left(-4\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{7\left(-4\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{7}{7\left(-4\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\\\frac{1}{11}\times 4-\frac{7}{22}\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{13}{22},y=\frac{1}{22}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$7x-3y=4,2x-4y=1$$

7x এবং 2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 7 দিয়ে গুণ করুন।

$$2\times 7x+2\left(-3\right)y=2\times 4,7\times 2x+7\left(-4\right)y=7$$

সিমপ্লিফাই।

$$14x-6y=8,14x-28y=7$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 14x-6y=8 থেকে 14x-28y=7 বাদ দিন।

$$14x-14x-6y+28y=8-7$$

-14x এ 14x যোগ করুন। টার্ম 14x এবং -14x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-6y+28y=8-7$$

28y এ -6y যোগ করুন।

$$22y=8-7$$

-7 এ 8 যোগ করুন।

$$22y=1$$

22 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{1}{22}$$

2x-4y=1 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{1}{22} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2x-4\times \frac{1}{22}=1$$

-4 কে \frac{1}{22} বার গুণ করুন।

$$2x-\frac{2}{11}=1$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{2}{11} যোগ করুন।

$$2x=\frac{13}{11}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{13}{22}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{13}{22},y=\frac{1}{22}$$