{l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$7x+5y=12$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5y বাদ দিন।

$$7x=-5y+12$$

7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

\frac{1}{7} কে -5y+12 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

অন্য সমীকরণ 8x-2y=7 এ x এর জন্য \frac{-5y+12}{7} বিপরীত করু ন।

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

8 কে \frac{-5y+12}{7} বার গুণ করুন।

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

-2y এ -\frac{40y}{7} যোগ করুন।

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{96}{7} বাদ দিন।

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

-\frac{54}{7} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{47}{54}$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{47}{54} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{5}{7} কে \frac{47}{54} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{235}{378} এ \frac{12}{7} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{59}{54}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

7x এবং 8x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 8 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 7 দিয়ে গুণ করুন।

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

সিমপ্লিফাই।

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 56x+40y=96 থেকে 56x-14y=49 বাদ দিন।

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

-56x এ 56x যোগ করুন। টার্ম 56x এবং -56x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$40y+14y=96-49$$

14y এ 40y যোগ করুন।

$$54y=96-49$$

-49 এ 96 যোগ করুন।

$$54y=47$$

54 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{47}{54}$$

8x-2y=7 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{47}{54} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

-2 কে \frac{47}{54} বার গুণ করুন।

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{47}{27} যোগ করুন।

$$8x=\frac{236}{27}$$

8 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{59}{54}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$