{l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

m, n এর জন্য সমাধান করুন

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের m পৃথক করে m-এর জন্য সমাধান করুন।

$$6m-5n=-9$$

সমীকরণের উভয় দিকে 5n যোগ করুন।

$$6m=5n-9$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

\frac{1}{6} কে 5n-9 বার গুণ করুন।

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

অন্য সমীকরণ 4m+3n=65 এ m এর জন্য \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} বিপরীত করু ন।

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

4 কে \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} বার গুণ করুন।

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

3n এ \frac{10n}{3} যোগ করুন।

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

সমীকরণের উভয় দিকে 6 যোগ করুন।

$$\frac{19}{3}n=71$$

\frac{19}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$n=\frac{213}{19}$$

m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2} এ n এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{213}{19} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি m এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{5}{6} কে \frac{213}{19} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{355}{38} এ -\frac{3}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$m=\frac{149}{19}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট m এবং n বের করুন।

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

6m এবং 4m সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 6 দিয়ে গুণ করুন।

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

সিমপ্লিফাই।

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 24m-20n=-36 থেকে 24m+18n=390 বাদ দিন।

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

-24m এ 24m যোগ করুন। টার্ম 24m এবং -24m বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-20n-18n=-36-390$$

-18n এ -20n যোগ করুন।

$$-38n=-36-390$$

-390 এ -36 যোগ করুন।

$$-38n=-426$$

-38 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$n=\frac{213}{19}$$

4m+3n=65 এ n এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{213}{19} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি m এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

3 কে \frac{213}{19} বার গুণ করুন।

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{639}{19} বাদ দিন।

$$4m=\frac{596}{19}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$m=\frac{149}{19}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$