{l}{53x+22y=400}{10y+x=60}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 53 x + 22 y = 400 } \\ { 10 y + x = 60 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{670}{127} = 5\frac{35}{127} \approx 5.275590551$$

$$y = \frac{695}{127} = 5\frac{60}{127} \approx 5.472440945$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$53x+22y=400$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 22y বাদ দিন।

$$53x=-22y+400$$

53 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{53}\left(-22y+400\right)$$

\frac{1}{53} কে -22y+400 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53}$$

অন্য সমীকরণ x+10y=60 এ x এর জন্য \frac{-22y+400}{53} বিপরীত করু ন।

$$-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53}+10y=60$$

10y এ -\frac{22y}{53} যোগ করুন।

$$\frac{508}{53}y+\frac{400}{53}=60$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{400}{53} বাদ দিন।

$$\frac{508}{53}y=\frac{2780}{53}$$

\frac{508}{53} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{695}{127}$$

x=-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{695}{127} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{22}{53}\times \frac{695}{127}+\frac{400}{53}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{22}{53} কে \frac{695}{127} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{15290}{6731}+\frac{400}{53}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{15290}{6731} এ \frac{400}{53} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{670}{127}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{53\times 10-22}&-\frac{22}{53\times 10-22}\\-\frac{1}{53\times 10-22}&\frac{53}{53\times 10-22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{254}&-\frac{11}{254}\\-\frac{1}{508}&\frac{53}{508}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{254}\times 400-\frac{11}{254}\times 60\\-\frac{1}{508}\times 400+\frac{53}{508}\times 60\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{670}{127}\\\frac{695}{127}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

53x এবং x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 53 দিয়ে গুণ করুন।

$$53x+22y=400,53x+53\times 10y=53\times 60$$

সিমপ্লিফাই।

$$53x+22y=400,53x+530y=3180$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 53x+22y=400 থেকে 53x+530y=3180 বাদ দিন।

$$53x-53x+22y-530y=400-3180$$

-53x এ 53x যোগ করুন। টার্ম 53x এবং -53x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$22y-530y=400-3180$$

-530y এ 22y যোগ করুন।

$$-508y=400-3180$$

-3180 এ 400 যোগ করুন।

$$-508y=-2780$$

-508 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{695}{127}$$

x+10y=60 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{695}{127} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x+10\times \frac{695}{127}=60$$

10 কে \frac{695}{127} বার গুণ করুন।

$$x+\frac{6950}{127}=60$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{6950}{127} বাদ দিন।

$$x=\frac{670}{127}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$