{l}{5x-y=3}{-2x+4y=12}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x-y=3$$

সমীকরণের উভয় দিকে y যোগ করুন।

$$5x=y+3$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

\frac{1}{5} কে y+3 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

অন্য সমীকরণ -2x+4y=12 এ x এর জন্য \frac{3+y}{5} বিপরীত করু ন।

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

-2 কে \frac{3+y}{5} বার গুণ করুন।

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

4y এ -\frac{2y}{5} যোগ করুন।

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{6}{5} যোগ করুন।

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

\frac{18}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{11}{3}$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{11}{3} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{1}{5} কে \frac{11}{3} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{11}{15} এ \frac{3}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{4}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

5x এবং -2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

সিমপ্লিফাই।

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -10x+2y=-6 থেকে -10x+20y=60 বাদ দিন।

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

10x এ -10x যোগ করুন। টার্ম -10x এবং 10x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$2y-20y=-6-60$$

-20y এ 2y যোগ করুন।

$$-18y=-6-60$$

-60 এ -6 যোগ করুন।

$$-18y=-66$$

-18 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{11}{3}$$

-2x+4y=12 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{11}{3} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

4 কে \frac{11}{3} বার গুণ করুন।

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{44}{3} বাদ দিন।

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

-2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{4}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$