{l}{5x+2y=17}{2x+3y=3}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{45}{11} = 4\frac{1}{11} \approx 4.090909091$$

$$y = -\frac{19}{11} = -1\frac{8}{11} \approx -1.727272727$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x+2y=17$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2y বাদ দিন।

$$5x=-2y+17$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+17\right)$$

\frac{1}{5} কে -2y+17 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}$$

অন্য সমীকরণ 2x+3y=3 এ x এর জন্য \frac{-2y+17}{5} বিপরীত করু ন।

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}\right)+3y=3$$

2 কে \frac{-2y+17}{5} বার গুণ করুন।

$$-\frac{4}{5}y+\frac{34}{5}+3y=3$$

3y এ -\frac{4y}{5} যোগ করুন।

$$\frac{11}{5}y+\frac{34}{5}=3$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{34}{5} বাদ দিন।

$$\frac{11}{5}y=-\frac{19}{5}$$

\frac{11}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{19}{11}$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{19}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{19}{11}\right)+\frac{17}{5}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{2}{5} কে -\frac{19}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{38}{55}+\frac{17}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{38}{55} এ \frac{17}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{45}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}&\frac{5}{5\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 17-\frac{2}{11}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 17+\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{11}\\-\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

5x এবং 2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 17,5\times 2x+5\times 3y=5\times 3$$

সিমপ্লিফাই।

$$10x+4y=34,10x+15y=15$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 10x+4y=34 থেকে 10x+15y=15 বাদ দিন।

$$10x-10x+4y-15y=34-15$$

-10x এ 10x যোগ করুন। টার্ম 10x এবং -10x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$4y-15y=34-15$$

-15y এ 4y যোগ করুন।

$$-11y=34-15$$

-15 এ 34 যোগ করুন।

$$-11y=19$$

-11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{19}{11}$$

2x+3y=3 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{19}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2x+3\left(-\frac{19}{11}\right)=3$$

3 কে -\frac{19}{11} বার গুণ করুন।

$$2x-\frac{57}{11}=3$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{57}{11} যোগ করুন।

$$2x=\frac{90}{11}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{45}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$