{l}{40x+4y=80}{8x-15y=-1}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 4 y = 80 } \\ { 8 x - 15 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{299}{158} = 1\frac{141}{158} \approx 1.892405063$$

$$y = \frac{85}{79} = 1\frac{6}{79} \approx 1.075949367$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$40x+4y=80$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4y বাদ দিন।

$$40x=-4y+80$$

40 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{40}\left(-4y+80\right)$$

\frac{1}{40} কে -4y+80 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{10}y+2$$

অন্য সমীকরণ 8x-15y=-1 এ x এর জন্য -\frac{y}{10}+2 বিপরীত করু ন।

$$8\left(-\frac{1}{10}y+2\right)-15y=-1$$

8 কে -\frac{y}{10}+2 বার গুণ করুন।

$$-\frac{4}{5}y+16-15y=-1$$

-15y এ -\frac{4y}{5} যোগ করুন।

$$-\frac{79}{5}y+16=-1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 16 বাদ দিন।

$$-\frac{79}{5}y=-17$$

-\frac{79}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{85}{79}$$

x=-\frac{1}{10}y+2 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{85}{79} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{10}\times \frac{85}{79}+2$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{1}{10} কে \frac{85}{79} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{17}{158}+2$$

-\frac{17}{158} এ 2 যোগ করুন।

$$x=\frac{299}{158}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{40\left(-15\right)-4\times 8}&-\frac{4}{40\left(-15\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{40\left(-15\right)-4\times 8}&\frac{40}{40\left(-15\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{632}&\frac{1}{158}\\\frac{1}{79}&-\frac{5}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{632}\times 80+\frac{1}{158}\left(-1\right)\\\frac{1}{79}\times 80-\frac{5}{79}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{158}\\\frac{85}{79}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

40x এবং 8x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 8 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 40 দিয়ে গুণ করুন।

$$8\times 40x+8\times 4y=8\times 80,40\times 8x+40\left(-15\right)y=40\left(-1\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$320x+32y=640,320x-600y=-40$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 320x+32y=640 থেকে 320x-600y=-40 বাদ দিন।

$$320x-320x+32y+600y=640+40$$

-320x এ 320x যোগ করুন। টার্ম 320x এবং -320x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$32y+600y=640+40$$

600y এ 32y যোগ করুন।

$$632y=640+40$$

40 এ 640 যোগ করুন।

$$632y=680$$

632 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{85}{79}$$

8x-15y=-1 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{85}{79} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$8x-15\times \frac{85}{79}=-1$$

-15 কে \frac{85}{79} বার গুণ করুন।

$$8x-\frac{1275}{79}=-1$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{1275}{79} যোগ করুন।

$$8x=\frac{1196}{79}$$

8 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{299}{158}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$