{l}{40x+30y=500}{60x+15y=600}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$40x+30y=500$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 30y বাদ দিন।

$$40x=-30y+500$$

40 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

\frac{1}{40} কে -30y+500 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

অন্য সমীকরণ 60x+15y=600 এ x এর জন্য -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} বিপরীত করু ন।

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

60 কে -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} বার গুণ করুন।

$$-45y+750+15y=600$$

15y এ -45y যোগ করুন।

$$-30y+750=600$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 750 বাদ দিন।

$$-30y=-150$$

-30 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=5$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 5 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

-\frac{3}{4} কে 5 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{15}{4} এ \frac{25}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{35}{4}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

40x এবং 60x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 60 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 40 দিয়ে গুণ করুন।

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

সিমপ্লিফাই।

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 2400x+1800y=30000 থেকে 2400x+600y=24000 বাদ দিন।

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

-2400x এ 2400x যোগ করুন। টার্ম 2400x এবং -2400x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$1800y-600y=30000-24000$$

-600y এ 1800y যোগ করুন।

$$1200y=30000-24000$$

-24000 এ 30000 যোগ করুন।

$$1200y=6000$$

1200 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=5$$

60x+15y=600 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 5 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$60x+15\times 5=600$$

15 কে 5 বার গুণ করুন।

$$60x+75=600$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 75 বাদ দিন।

$$60x=525$$

60 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{35}{4}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{35}{4},y=5$$