{l}{4x-3y=1}{5x+3y=-10}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-1$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x-3y=1$$

সমীকরণের উভয় দিকে 3y যোগ করুন।

$$4x=3y+1$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

\frac{1}{4} কে 3y+1 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

অন্য সমীকরণ 5x+3y=-10 এ x এর জন্য \frac{3y+1}{4} বিপরীত করু ন।

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+3y=-10$$

5 কে \frac{3y+1}{4} বার গুণ করুন।

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+3y=-10$$

3y এ \frac{15y}{4} যোগ করুন।

$$\frac{27}{4}y+\frac{5}{4}=-10$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{5}{4} বাদ দিন।

$$\frac{27}{4}y=-\frac{45}{4}$$

\frac{27}{4} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{5}{3}$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{5}{3} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{3}{4}\left(-\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{4}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{3}{4} কে -\frac{5}{3} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{-5+1}{4}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{5}{4} এ \frac{1}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-1$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{5}{27}&\frac{4}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\\-\frac{5}{27}+\frac{4}{27}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

4x এবং 5x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-10\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$20x-15y=5,20x+12y=-40$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 20x-15y=5 থেকে 20x+12y=-40 বাদ দিন।

$$20x-20x-15y-12y=5+40$$

-20x এ 20x যোগ করুন। টার্ম 20x এবং -20x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-15y-12y=5+40$$

-12y এ -15y যোগ করুন।

$$-27y=5+40$$

40 এ 5 যোগ করুন।

$$-27y=45$$

-27 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{5}{3}$$

5x+3y=-10 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{5}{3} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$5x+3\left(-\frac{5}{3}\right)=-10$$

3 কে -\frac{5}{3} বার গুণ করুন।

$$5x-5=-10$$

সমীকরণের উভয় দিকে 5 যোগ করুন।

$$5x=-5$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-1$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$