{l}{4x+y=4}{-3x-6y=18}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 4 } \\ { - 3 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=2$$

$$y=-4$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+y=4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$4x=-y+4$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+4\right)$$

\frac{1}{4} কে -y+4 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{4}y+1$$

অন্য সমীকরণ -3x-6y=18 এ x এর জন্য -\frac{y}{4}+1 বিপরীত করু ন।

$$-3\left(-\frac{1}{4}y+1\right)-6y=18$$

-3 কে -\frac{y}{4}+1 বার গুণ করুন।

$$\frac{3}{4}y-3-6y=18$$

-6y এ \frac{3y}{4} যোগ করুন।

$$-\frac{21}{4}y-3=18$$

সমীকরণের উভয় দিকে 3 যোগ করুন।

$$-\frac{21}{4}y=21$$

-\frac{21}{4} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-4$$

x=-\frac{1}{4}y+1 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+1$$

-\frac{1}{4} কে -4 বার গুণ করুন।

$$x=1+1$$

1 এ 1 যোগ করুন।

$$x=2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=2,y=-4$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{21}\\-\frac{1}{7}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{21}\times 18\\-\frac{1}{7}\times 4-\frac{4}{21}\times 18\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=2,y=-4$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

4x এবং -3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$-3\times 4x-3y=-3\times 4,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 18$$

সিমপ্লিফাই।

$$-12x-3y=-12,-12x-24y=72$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -12x-3y=-12 থেকে -12x-24y=72 বাদ দিন।

$$-12x+12x-3y+24y=-12-72$$

12x এ -12x যোগ করুন। টার্ম -12x এবং 12x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-3y+24y=-12-72$$

24y এ -3y যোগ করুন।

$$21y=-12-72$$

-72 এ -12 যোগ করুন।

$$21y=-84$$

21 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-4$$

-3x-6y=18 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-3x-6\left(-4\right)=18$$

-6 কে -4 বার গুণ করুন।

$$-3x+24=18$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 24 বাদ দিন।

$$-3x=-6$$

-3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=2,y=-4$$