{l}{4x+y=15}{5y+19x=30}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=45$$

$$y=-165$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+y=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$4x=-y+15$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

\frac{1}{4} কে -y+15 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

অন্য সমীকরণ 19x+5y=30 এ x এর জন্য \frac{-y+15}{4} বিপরীত করু ন।

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

19 কে \frac{-y+15}{4} বার গুণ করুন।

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

5y এ -\frac{19y}{4} যোগ করুন।

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{285}{4} বাদ দিন।

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$y=-165$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -165 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-\frac{1}{4} কে -165 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{165+15}{4}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{165}{4} এ \frac{15}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=45$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=45,y=-165$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=45,y=-165$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x এবং 19x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 19 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

সিমপ্লিফাই।

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 76x+19y=285 থেকে 76x+20y=120 বাদ দিন।

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

-76x এ 76x যোগ করুন। টার্ম 76x এবং -76x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$19y-20y=285-120$$

-20y এ 19y যোগ করুন।

$$-y=285-120$$

-120 এ 285 যোগ করুন।

$$-y=165$$

-1 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-165$$

19x+5y=30 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -165 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

5 কে -165 বার গুণ করুন।

$$19x-825=30$$

সমীকরণের উভয় দিকে 825 যোগ করুন।

$$19x=855$$

19 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=45$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=45,y=-165$$