{l}{4x+9y=-21}{3x+4y=-13}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 21 } \\ { 3 x + 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-3$$

$$y=-1$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+9y=-21$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 9y বাদ দিন।

$$4x=-9y-21$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-21\right)$$

\frac{1}{4} কে -9y-21 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}$$

অন্য সমীকরণ 3x+4y=-13 এ x এর জন্য \frac{-9y-21}{4} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}\right)+4y=-13$$

3 কে \frac{-9y-21}{4} বার গুণ করুন।

$$-\frac{27}{4}y-\frac{63}{4}+4y=-13$$

4y এ -\frac{27y}{4} যোগ করুন।

$$-\frac{11}{4}y-\frac{63}{4}=-13$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{63}{4} যোগ করুন।

$$-\frac{11}{4}y=\frac{11}{4}$$

-\frac{11}{4} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-1$$

x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -1 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{9}{4}\left(-1\right)-\frac{21}{4}$$

-\frac{9}{4} কে -1 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{9-21}{4}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{9}{4} এ -\frac{21}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-3,y=-1$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 4-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-9\times 3}&\frac{4}{4\times 4-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{9}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\left(-21\right)+\frac{9}{11}\left(-13\right)\\\frac{3}{11}\left(-21\right)-\frac{4}{11}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-3,y=-1$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

4x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 4x+3\times 9y=3\left(-21\right),4\times 3x+4\times 4y=4\left(-13\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$12x+27y=-63,12x+16y=-52$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 12x+27y=-63 থেকে 12x+16y=-52 বাদ দিন।

$$12x-12x+27y-16y=-63+52$$

-12x এ 12x যোগ করুন। টার্ম 12x এবং -12x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$27y-16y=-63+52$$

-16y এ 27y যোগ করুন।

$$11y=-63+52$$

52 এ -63 যোগ করুন।

$$11y=-11$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-1$$

3x+4y=-13 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -1 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+4\left(-1\right)=-13$$

4 কে -1 বার গুণ করুন।

$$3x-4=-13$$

সমীকরণের উভয় দিকে 4 যোগ করুন।

$$3x=-9$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-3,y=-1$$