{l}{4x+7y=2}{5x+6y=4}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+7y=2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 7y বাদ দিন।

$$4x=-7y+2$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

\frac{1}{4} কে -7y+2 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

অন্য সমীকরণ 5x+6y=4 এ x এর জন্য -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} বিপরীত করু ন।

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

5 কে -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

6y এ -\frac{35y}{4} যোগ করুন।

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{5}{2} বাদ দিন।

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

-\frac{11}{4} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{6}{11}$$

x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{6}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{7}{4} কে -\frac{6}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{21}{22} এ \frac{1}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{16}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

4x এবং 5x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

সিমপ্লিফাই।

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 20x+35y=10 থেকে 20x+24y=16 বাদ দিন।

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

-20x এ 20x যোগ করুন। টার্ম 20x এবং -20x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$35y-24y=10-16$$

-24y এ 35y যোগ করুন।

$$11y=10-16$$

-16 এ 10 যোগ করুন।

$$11y=-6$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{6}{11}$$

5x+6y=4 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{6}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

6 কে -\frac{6}{11} বার গুণ করুন।

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{36}{11} যোগ করুন।

$$5x=\frac{80}{11}$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{16}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$