{l}{4x+5y=6}{3x+y=2}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+5y=6,3x+y=2$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+5y=6$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5y বাদ দিন।

$$4x=-5y+6$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

\frac{1}{4} কে -5y+6 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

অন্য সমীকরণ 3x+y=2 এ x এর জন্য -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}\right)+y=2$$

3 কে -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{2}+y=2$$

y এ -\frac{15y}{4} যোগ করুন।

$$-\frac{11}{4}y+\frac{9}{2}=2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{9}{2} বাদ দিন।

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{5}{2}$$

-\frac{11}{4} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{10}{11}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{10}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{10}{11}+\frac{3}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{5}{4} কে \frac{10}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{25}{22}+\frac{3}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{25}{22} এ \frac{3}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{4}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{10}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+5y=6,3x+y=2$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\3&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{4}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 6+\frac{5}{11}\times 2\\\frac{3}{11}\times 6-\frac{4}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{10}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{10}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+5y=6,3x+y=2$$

4x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 6,4\times 3x+4y=4\times 2$$

সিমপ্লিফাই।

$$12x+15y=18,12x+4y=8$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 12x+15y=18 থেকে 12x+4y=8 বাদ দিন।

$$12x-12x+15y-4y=18-8$$

-12x এ 12x যোগ করুন। টার্ম 12x এবং -12x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$15y-4y=18-8$$

-4y এ 15y যোগ করুন।

$$11y=18-8$$

-8 এ 18 যোগ করুন।

$$11y=10$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{10}{11}$$

3x+y=2 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{10}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+\frac{10}{11}=2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{10}{11} বাদ দিন।

$$3x=\frac{12}{11}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{4}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{10}{11}$$