{l}{4x+20y=68}{-4x+3y=24}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 20 y = 68 } \\ { - 4 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-3$$

$$y=4$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+20y=68,-4x+3y=24$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+20y=68$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 20y বাদ দিন।

$$4x=-20y+68$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-20y+68\right)$$

\frac{1}{4} কে -20y+68 বার গুণ করুন।

$$x=-5y+17$$

অন্য সমীকরণ -4x+3y=24 এ x এর জন্য -5y+17 বিপরীত করু ন।

$$-4\left(-5y+17\right)+3y=24$$

-4 কে -5y+17 বার গুণ করুন।

$$20y-68+3y=24$$

3y এ 20y যোগ করুন।

$$23y-68=24$$

সমীকরণের উভয় দিকে 68 যোগ করুন।

$$23y=92$$

23 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=4$$

x=-5y+17 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-5\times 4+17$$

-5 কে 4 বার গুণ করুন।

$$x=-20+17$$

-20 এ 17 যোগ করুন।

$$x=-3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-3,y=4$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+20y=68,-4x+3y=24$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-20\left(-4\right)}&-\frac{20}{4\times 3-20\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-20\left(-4\right)}&\frac{4}{4\times 3-20\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{92}&-\frac{5}{23}\\\frac{1}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{92}\times 68-\frac{5}{23}\times 24\\\frac{1}{23}\times 68+\frac{1}{23}\times 24\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-3,y=4$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+20y=68,-4x+3y=24$$

4x এবং -4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$-4\times 4x-4\times 20y=-4\times 68,4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 24$$

সিমপ্লিফাই।

$$-16x-80y=-272,-16x+12y=96$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -16x-80y=-272 থেকে -16x+12y=96 বাদ দিন।

$$-16x+16x-80y-12y=-272-96$$

16x এ -16x যোগ করুন। টার্ম -16x এবং 16x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-80y-12y=-272-96$$

-12y এ -80y যোগ করুন।

$$-92y=-272-96$$

-96 এ -272 যোগ করুন।

$$-92y=-368$$

-92 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=4$$

-4x+3y=24 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-4x+3\times 4=24$$

3 কে 4 বার গুণ করুন।

$$-4x+12=24$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 12 বাদ দিন।

$$-4x=12$$

-4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-3,y=4$$